微分積分学概論AI要約 No.8

今回から、関数の話に話題の重点をうつす。

これから、 「$a$ の近くで定義されている(実数値)関数 $f$ 」 という言い方をもちいることがある。これは、 次の二つの状況を同時に満足していることを 言い表す言葉である。

1. $f$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のある部分集合 $S$ 上定義されている関数 ( $f: S\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ )である。
2. $S$ は $a$ を含むある開区間 $I$ を部分集合として含む

定義 8.1 ( ``1.3.2'' )  

$f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値 は $A$ である (「$x\to a$ のとき $f$ は $A$ に収束する」とも言う) とは、

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( 0<\vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-A\vert<\epsilon)$$

が満たされるときに言う。

($x\to a$ の過程において、「$x=a$ を許さない」というのが 一つのポイントである。)

補題 8.1   上の定義の状況のもとで、関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ に近づくときの極限値は 存在するとすれば唯一つである。

定義 8.2   $f(x)$ の $x\to a$ の極限を(それがもし存在すれば、)

$$\lim_{x\to a} f(x)$$

とかく。

定義 8.3 ( ``1.3.3'' )  

$f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の右極限値 は $A$ である (「 $x\downarrow a$ のとき $f$ は $A$ に収束する」とも言う) とは、

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( 0<x-a<\delta \implies \vert f(x)-A\vert<\epsilon)$$

が満たされるときに言う。$f$ および $a$ が与えられたとき、右極限値も もし存在すれば一意的である。これを

$$\lim_{x\downarrow a} f(x)$$    あるいは $$\lim_{x\to a+0} f(x)$$

と書く。左極限値も同様に定義される。

問題 8.1  

$$\lim_{x\to 0} \frac{(\sin(x))^2}{x}$$

はいくらか。(結果が正しいことを極限の定義に基づいて証明せよ。)

ただし、三角函数の性質のうち、次のことは証明なしに用いて良い。

1. 任意の $x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいし、 $-1\leq \sin(x)\leq 1$ である。
2. 任意の $x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいし、 $-x\leq \sin(x)\leq x$ である。