日本語技法 No.5

$\forall$ と $\exists$ (その2)

$$\forall x P(x)$$

を証明するには、全ての $x$ について一斉にチェックする必要がある。 (したがって、一般には何らかの巧妙な「多くのモノをさばく」テクニックが 必要になる。)

例: $\forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((4> z^2) {\Leftrightarrow} (2 >z))$ は正しい。 なぜなら、任意の正の有理数 $z$ に対して、

$$4>z^2 {\Leftrightarrow} (2-z)(2+z)>0 {\Leftrightarrow} 2-z>0 {\Leftrightarrow} 2>z$$

だからである。

$$\exists x P(x)$$

を証明するには、一つで良いから例をあげれば良い。 このときは、できるだけ具体的な例がよい。

例: $\forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((3> z^2) {\Leftrightarrow} (2 >z))$ は正しくない。 すなわち、

$$\exists z\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$_{>0} ((3> z^2) \not\Leftrightarrow (2 >z))$$

である。なぜなら、正の有理数 $z=1.8$ を考えると、 $3>1.8^2$ ではない( $1.8^2=3.24$)のに $2>1.8$ だからである。

一般に、 $\forall x P(x)$ の否定は $\exists x (\neg P(x))$ であり、 $\exists x P(x)$ の否定は $\forall x (\neg P(x))$ である。 したがって、例えば

$$\left( \neg(\forall x \exists y \forall z P(x,y,z)) \right) = \left( \exists x \forall y \exists z (\neg P(x,y,z)) \right)$$

という具合に、 $\forall, \exists$ を含んだ命題の 否定は非常に簡単かつ形式的に得ることができる。

議論が複雑になってきたように感じられたら、 いったん記号で 主張を書いてみて整理するとわかりやすくなることが多い。

また、下の問題のように、幾つかに区切って考えるのも一法である。

その前に一つ注意をしておこう。

命題 5.1   一般に、正の実数 $a,b$ に対して

$$\forall z\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$_{>0} ((a> z^2)\ \Leftrightarrow \ (b >z))$$

が成り立つのは $a=b^2$ のときで、しかもそのときに限る。

問題 5.1   この問題では $\sqrt{3}$ は無理数であることを証明なしに用いて良い。 以下に挙げるそれぞれの命題は真だろうか、それとも偽だろうか。 それぞれ理由を述べて答えなさい。

1. $\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} \forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((3> z^2) {\Leftrightarrow} (y >z))$

2. $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} \exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} \forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((x> z^2) {\Leftrightarrow} (y >z))$