日本語技法 No.3

and, or, not と 「ならば」

数学では、 幾つかの、真なる命題(公理)から出発して、 一定の推論規則を使って他の命題(補題や定理)を 導き出す。

(推論規則は、大変易しいが、ときとして日常での推論とは ずれることがある。これは主として、日常生活ではよく行なわれる 「含意」とか「行間を読む」といったものを数学では極力排していることによる。 すなわち、正しい証明を読めば(間違わない限りは、) 誰でも同じ結論にたどり着けるようにしてある。)

既存の命題から、新しい命題を生み出すための基本的な道具が、 「and, or, not」である。その説明のために、まず つぎの定義をしておく。

定義 3.1 (真理値)   命題の真理値を、つぎのように定める。

1. 命題 $P$ が正しい(真である)とき、その真理値は $1$ であると定める。
2. 命題 $P$ が正しくない(偽である)とき、その真理値は 0 であると定める。

定義 3.2   命題 $P$ が与えられていて、$P$ の真理値は $p$ であるとする。このとき、 「not $P$ 」 なる命題をあらたにつくっても構わない。 この命題の真理値は、$1-p$ である。

定義 3.3   命題 $P,Q$ が与えられていて、$P$ の真理値は $p$ , $Q$ の真理値は $q$ であるとする。このとき、

1. 「$P$ and $Q$ 」 なる命題をあらたにつくっても構わない。 この命題の真理値は、$p q$ である。
2. 「$P$ or $Q$ 」 なる命題をあらたにつくっても構わない。 この命題の真理値は、 $\max(p, q)$ である。

定義 3.4   命題 $P,Q$ が与えられていて、$P$ の真理値は $p$ , $Q$ の真理値は $q$ であるとする。このとき、 「$P$ $\implies$ $Q$ 」 (「$P$ ならば $Q$ 」と読む。) なる命題をあらたにつくっても構わない。 この命題の真理値は、 「(not $P$ ) or $Q$ 」と同じである。

上の三つは、数学の推論の仕方の基本的な取り決めである。 「or」と「ならば」の使い方はとくに注意が必要である。 日常語としては、これらの語を上記以外の使い方で用いることもあるが、 「議論を明確にする」ために上のようにきめてあるわけだ。

かけ算における九九の表や、筆算のように、 真理値についても表をつくって理解の 助けにすることがある。これを真理表という。 形式は、どのようなものでも良いわけだが、例えばつぎのようにつくる。

P	Q	P and Q	P or Q	not P	Q	(not P)or Q
0	0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	0	1	1

上の表の一番右の欄が 「 $P\implies Q$ 」の真理値を表している。

問題 3.1   真理値を書き込んで、 下の真理表を完成せよ。

P	Q	P$\implies$ Q	P and (P$\implies$ Q)	(P and (P$\implies$ Q))$\implies$ Q
0	0
0	1
1	0
1	1

「and, or , not $\dots$ 」 は日本語ではもちろん それぞれ 「かつ、または、$\dots$ でない」である。 ここでは、強調のためあえて英語を用いた。 また、つぎのような記法が用いられることもある。

$$P \wedge Q \qquad P Q \qquad (P Q)$$

$$P \vee Q \qquad P Q \qquad (P Q)$$

$$\neg P \qquad \text {not } P \qquad (P )$$