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代数学演習 I 問題 No.8
今回(No.8)は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。
問題 8.1
を示しなさい。
問題 8.2
有理数体
の部分集合
は
の部分環になることを示しなさい。
問題 8.3
を示しなさい。
問題 8.4
を示しなさい。
問題 8.5
環
のイデアル
と変数
について、次の同型を示しなさい。
問題 8.6
環
の部分環
と
のイデアル
について、
は、
の部分環となることを示しなさい。
問題 8.7
環
の部分環
と
のイデアル
について、
が成り立てば、
となることを示しなさい。
問題 8.8
環準同型
について、
が
のイデアルであれば、
は
のイデアルとなることを示しなさい。
問題 8.9
環準同型
について、
が
のイデアルのとき、
は
のイデアルとなりますか?(ならなければ反例を挙げてください。)
が全射ならどうですか?
問題 8.10
の元をすべて書き並べて、
以外の元の逆元をそれぞれ求めなさい。
問題 8.11
を体とします。このとき同型
を示しなさい。
問題 8.12
環
とその部分環
とについて、
が
の素イデアルならば、
は
の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか?
問題 8.13
環
のイデアルに
について、
を
と略記します。
も
のイデアルで、
となれば、
となることを示しなさい。
問題 8.14
整域
の元
について、次を示しなさい。
である(すなわち、ある
があって、
と書ける)ことと、
とは同値である。
と
とが同伴である(すなわち、
かつ
が成り立つ)ことと、
とは同値である。
問題 8.15
実数体
上の多項式
が環
で既約となる条件は、
であることを示しなさい。
問題 8.16
体
上の二次式
(
) が既約かどうかをそれぞれの
について調べなさい。
問題 8.17
を
で割った余りを求めなさい。
問題 8.18
自然数
が与えられたとします。次の関係式を満たす
を一組見つけなさい。
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平成19年11月29日