代数学演習 I 問題 No.7

問題 7.1 (準同型定理)   $f:R\to S$ を環の間の準同型とするとき、次のことを示しなさい。

1. ($f$ の核 $I=\operatorname{Ker}f=f^{-1}(0)$ は $R$ のイデアルである。-これは既出なので 証明は省略して良い)
2. $f(r)=f(r') \quad {\Leftrightarrow}\quad r-r'\in I$ 。
3. 写像 $\bar{f}$ を
   $$\bar{f}:R/I \ni \bar{r} \mapsto f(r) \in S$$
   で定義すると、これは代表元の取りかたによらずにうまく定義されている。
4. $\bar{f}$ は単射準同型写像である。
5. $f$ が全射ならば、$\bar{f}$ は同型写像である。

例題 7.1 (準同型定理の使い方)  

(1).

$4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであることを示しなさい。

(2).

$({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})/(4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を求めよ。

(1),(2)を一遍に解決する。以下、整数 $m$ にたいし、 $m$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ での同値類を $[m]_{12}$ と書き、 $m$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ での同値類を $[m]_4$ と書くことにする。 写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$$f:[m]_{12} \to [m]_4$$

で定義すれば、これが代表元によらずにうまく定義されており、 準同型写像であることはすぐに分かる。$f$ の核は

$$\{\bar{m};\quad m$$    は $4$ の倍数$$\}=4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

で、準同型写像の核はイデアルだから、 $4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルである。 $(\to (1))$

$f$ は全射だから、準同型定理(前問)により、 $\bar{f}:({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})/(4{\mbox{${\mathbb... ...12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は同型を与える。 ($\to (2)$ (答え： ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ))

問題 7.2   次の環 $R$ とそのイデアル $I$ について、$R/I$ を求めよ。

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/48{\mbox{${\mathbb{Z}}$}},I=8R$ .
2. $R={\mathbb{C}}[X]/((X+1)(X-1){\mathbb{C}}[X]), I=(X+1)R$ .

問題 7.3   同型 ${\mathbb{C}}[X]/(X-3){\mathbb{C}}[X]\cong {\mathbb{C}}$ を示しなさい。

問題 7.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]/(1+\sqrt{-1}) \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を示しなさい。

問題 7.5   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to S$ を 環の準同型とします。 $S$ のイデアル $J$ をとって、

$$I=f^{-1}(J)$$

とおくと、$I$ は $R$ のイデアルであって、単射準同型 $\bar{f}:R/I\to S/J$ が $f$ により自然に定義されることを示しなさい。

問題 7.6   $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{10}]$ のイデアル $I=(2,\sqrt{10})$ による剰余環 $R/I$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型であることを示し、$I$ が $R$ の素イデアルであることを言いなさい。