代数学演習 I 問題 No.4

定義 4.1   $R$ を環、$I$ をそのイデアル、$S$ を $R$ の部分集合とします。$I$ が $S$ で(イデアルとして)生成されるとは、次の二条件を満たすときに言います。

1. $I$ は $S$ を部分集合として含む。
2. $I$ は、$S$ を部分集合として含むイデアルの中で最小のものである。すなわち、 $S$ を含む $R$ の任意のイデアル $J$ に対し、 $I\subset J$ が成り立つ。

$S$ が有限集合 $S=\{x_1,\dots,x_n\}$ のとき、$S$ で生成されるイデアルを普通 $(x_1,\dots,x_n)$ と丸括弧を用いて書きます。

例題 4.1   $\{9,12\}$ で生成される ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $I=(9,12)$ を求めよ。

解答 $I$ は引き算について閉じているから、

$$I\ni 12-9=3.$$

さらに、$I$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ による掛け算により閉じているから、

$$3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset I.$$

ところが、 $3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は $\{9,12\}$ を含む ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであるから、$I$ の最小性により、

$$I \subset 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

以上により、 $I=3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が分かった。($I=(3)$ と書いても良い。次の問題も参照)

問題 4.1   $R$ を環、$S$ をその部分集合とします。この時 $S$ で生成される $R$ のイデアル $I$ がただひとつ存在することを次の順序で示しなさい。

1. (一意性) $I,J$ がともに $S$ で生成される $R$ のイデアル(すなわち定義4.1 の(1),(2)を満たす)ならば、$I,J$ 両方の最小性を用いて、$I=J$ が分かる。
2. (存在 I) $S$ を含む $R$ のイデアルは一つは必ず存在することを示しなさい。
3. (存在 II) $S$ を含む $R$ のイデアルの全体を $\{I_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ とすると、それらすべての共通部分
   $$I_0=\cap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda$$
   も $R$ のイデアルで、かつ $S$ を含むことを示しなさい。
4. (存在 III) 上の $I_0$ が $S$ を含む最小のイデアルであることを示しなさい。

問題 4.2   次の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルを簡単な形になおしなさい。(各1点)

1. $I_1=(4,6)$
2. $I_2=(12,18,30)$
3. $I_3=(78,54,62)$

問題 4.3   次の ${\mathbb{C}}[X]$ のイデアルを簡単な形になおしなさい。(各1点)

1. $I_1=(X^3,X^2)$
2. $I_2=(X^3-1, X^2-1)$
3. $I_3=(X(X-1),(X+1)(X-1),X(X+1))$