代数学演習 I 問題 No.3

定義 3.1   環 $R$ の部分集合が $R$ のイデアルであるとは、

1. $I$ は $(R,+)$ の部分加群である。
2. $r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$

の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.1   環 $R$ の部分集合 $\{0\}$ は $R$ のイデアルであることを示しなさい。(通常 $\{0\}$ を単に 0 であらわします。)

問題 3.2   環の間の準同型 $f:R\to S$ の核 $\operatorname{Ker}(f)$ は $R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.3   $I,J$ が環 $R$ のイデアルならば、$I\cap J$ も $R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.4   $I,J$ が環 $R$ のイデアルならば、

$$I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}$$

も $R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.5   $I,J$ が可換環 $R$ のイデアルならば、

$$IJ=\{\sum_i a_ib_i ($$有限和$$); a_i\in I, b_i \in J \}$$   (注意)

も $R$ のイデアルとなることを示しなさい。 (注意): $I J$ は「$I$ , $J$ の元同士の積の集合」ではない。

問題 3.6   可換環 $R$ の巾零元全体

$$P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}$$

は $R$ のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.2   単位元を持つ可換環 $R$ 上の一変数多項式とは、

$$a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad (a_n,\dots,a_0 \in R)$$

のように表されるもののことです。$R$ 上の一変数多項式の全体は環をなします。 これを $R$ 上の一変数多項式環と言って、$R[X]$ であらわします。 以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 $R$ は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.7 (単位元を持つ可換)   環 $R$ 上の一変数多項式 $f(X)$ と $R$ の元 $a$ について、$f(a)=0$ ならば、

$$f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]$$

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.3   前回定義するのを忘れましたが、環 $R$ の元 $a$ は、

$$ab=0$$

なる $b(\neq 0)\in R$ が存在するとき、左零因子と呼ばれます。右零因子も同様に定義されます。可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。 零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。

問題 3.8   整域 $R$ 上の 一変数多項式 $f(X)$ は、$R$ に高々 $d$ 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.9   可換環 $R$ 上の一変数多項式 $f(X)$ の係数のうちに非零因子があれば、$f(X)$ は $R[X]$ の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.10   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の二変数多項式環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ の次のイデアル $I,J$ をなるべく簡単な生成元で表しなさい。

$$I=(X+Y(X+1),Y,X^2), J=(X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5)$$

問題 3.11   閉区間 $[0,1]$ 上の連続関数全体のなす環 $R=C([0,1])$ を考えます。次のものは $R$ のイデアルになりますか？

1. $S_1=\{ f\in R; \quad f(1/2)=0 \}$
2. $S_2=\{ f\in R; \quad f(1/2)=1 \}$
3. $S_3=\{ f\in R; \quad f(x)=0$    がすべての $x&isin#in;[1/2,1]$ について成り立つ$\}$
4. $S_4=\{ f\in R; \quad f(x)=1$    がすべての $x&isin#in;[1/2,1]$ について成り立つ$\}$

問題 3.12   開区間 $(0,1)$ 上の 連続関数全体のなす環 $R=C(0,1)$ の部分集合

$$S=\{f\in R; \lim_{x\to 0} f(x)=0\}$$

は $R$ のイデアルになりますか？

問題 3.13  

1. 開区間 $(0,1)$ 上の 連続関数全体のなす環 $R=C(0,1)$ の部分集合
   $$S=\{f\in R;$$   $f$ は $(0,1)$ で有界$$\}$$
   は $R$ の部分環であることを示しなさい。
2. $S$ の部分集合
   $$I=\{f\in S; \lim_{x\to 0} f(x)=0\}$$
   は $S$ のイデアルであることを示しなさい。

補題 3.1   $R$ は単位元をもつ環であるとし、$I$ をそのイデアルとする。 このとき、

1. $R$ に同値関係 $\sim$ が、次のようにして決まる。
   $$a\sim b {\Leftrightarrow} a-b \in I.$$

2. $R/\sim$ に、足し算を次のようにして入れる。
   $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$$?$ は $?$ の $&sim#sim;$ に関する クラスを表す。$$)$$
   この足し算はうまく定義されていて、$R/\sim$ はこの足し算について可換群になる。
3. $R/\sim$ に、かけ算を次のようにして入れる。
   $$\bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}$$
   このかけ算はうまく定義されていて、$R/\sim$ はこのかけ算について半群になる。
4. $R/\sim$ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。 しかも、この環は単位元 $\bar{1}$ を持つ。

定義 3.4   上の補題の仮定のもとで、 $R/\sim$ に上のような足し算、かけ算を入れて 環にしたものを $R/I$ と書き、$R$ の $I$ による剰余環と呼ぶ。

問題 3.14 (この問題は全部といて一点)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $I=10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ について、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に上記補題のような同値関係をいれたとき、

1. $1$ と同値であるような ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を正、負ともに 2個ずつあげなさい。 それらを $a_1,\dots,a_4$ とする。
2. $3$ と同値であるような ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を正、負ともに 2個ずつあげなさい。 それらを $b_1,\dots,b_4$ とする。
3. 上のようにして取った $a_i,b_j$ の全ての組合せ(16通り) について、
   $$a_i+b_j$$
   をもとめ、そのおのおのについて、 それと同値になる ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ のなかから一つ選びなさい。

問題 3.15 (この問題は全部といて一点)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、整数 $?$ のクラス(同値類)を $[?]_{10}$ で表すことにする。 このとき、

1. $[10]_{10}=[0]_{10}$ であることを証明しなさい。
2. $[2]_{10}\neq [0]_{10}$ であることを証明しなさい。
3. $[5]_{10}\neq [0]_{10}$ であることを証明しなさい。
4. $[2]_{10}\times [5]_{10}$ , $[3]_{10}\times [7]_{10}$ をできるだけ簡単な形に なおしなさい。

問題 3.16   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のなかで、

$$x^2=1$$

を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 3.17   $n=3\times 5\times 7\times 11(=1155)$ とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のなかで、

$$x^2=1$$

を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 3.18  

$$1234567891234567$$

を $9$ で割ったあまりはいくらだろうか？ できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 3.19  

$$1234567891234567$$

を $11$ で割ったあまりはいくらだろうか？ できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 3.20  

$$1234567891234567$$

を $99$ で割ったあまりはいくらだろうか？ できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。