代数学演習 I 問題 No.2

注意 これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、 単位元を持つ環と解釈していただきたい。(単位元の存在がとくに重要な時には、 一応ことわる。)ただし、積が可換であるとはまだ仮定しない。

問題 2.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\mbox{${\sqrt {-1}}$}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{a+b\mbox{${\sqrt {-1}}$};a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ は環となることを示しなさい。( $\mbox{${\sqrt {-1}}$}$ は虚数単位をあらわす記号です。)

問題 2.2   単位元 $1$ を持つ環 $R$ の元 $x,y,z$ にたいして、

$$xy=1 y x$$

$$zx=1 z x$$

が成り立つとき、$z=y$ であって、

$$xy=yx=1$$   (すなわち $y(=z)$ は $x$ の逆元である)

が成り立つことを示しなさい。

定義 2.1   単位元の存在する環 $R$ において、逆元が存在するような元のことを、$R$ の可逆元とか、単元、あるいは単数といいます。

問題 2.3   $R$ を単位元の存在する環とします。 $R$ の可逆元全体 $R^{\times}$ は群をなすことを示しなさい。

定義 2.2   前問の $R^{\times}$ のことを $R$ の単数群といいます。

問題 2.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の単数群を求めなさい。

問題 2.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\mbox{${\sqrt {-1}}$}$ の単数群を求めなさい。

問題 2.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$+$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\mbox{${\sqrt {-1}}$}$$=\{a+b$$\mbox{${\sqrt {-1}}$}$$;a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\}$ は体となることを示しなさい。

定義 2.3 (部分環の定義)   $R$ が単位元をもつ環であるとする。$R$ の部分集合 $S$ が $R$ の部分環であるとは、$S$ が次の条件を満たす時にいう。

1. $S$ は $R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
2. $S$ は $R$ の単位元を元として持つ。

上の条件のうち、(1)が本質的部分であり、(2) は冒頭で述べた注意に沿うための 技術的条件である。ただし、(2)をぬかしてしまうと理論は見かけ上かなり違った 形になるので単位元のない環を扱う時(がもしあればその時)には注意が必要である。

問題 2.7   次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環であるか、理由をつけて答えなさい。

1. 整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. 有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
4. 複素数を成分にもつ二次行列全体の集合 $M_2({\mathbb{C}})$ .

問題 2.8 (Web版のみ)   ${\mathbb{C}}$ の部分環 $S$ が、 $1,\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として持っているとします。 この時、 $2\sqrt{15},4\sqrt{3},4\sqrt{5}$ も $S$ の元であることを示しなさい。

定義 2.4   単位元をもつ可換環 $R$ が

$$ab=0 (a,b\in R) \implies a=0$$    or $$b=0$$

を満たす時、$R$ を整域とよぶ

問題 2.9   $M_2({\mathbb{C}})$ の部分集合

$$\left\{ \begin{pmatrix} k+2l &0\\ 0 &k+3l \end{pmatrix}; k,l\in {\mathbb{C}} \right\}$$

は加法、減法、乗法について閉じていることを示し、 これが単位元をもつ可換環であることを言いなさい。 さらに、この環は整域ではないことを示しなさい。

問題 2.10   $R$ が可換環 $S$ の部分環であるとき、$R$ も可換環になり、さらに $S$ が整域であれば $R$ も整域であることを示しなさい。

問題 2.11   実数を成分に持つ $n$ -次正方行列のなす集合 $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ は通常の算法によって環になることを定義に沿って説明しなさい。

問題 2.12   $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の元 $A$ が零因子である必要十分条件は $\operatorname{det}(A)=0$ であることを示しなさい。

問題 2.13   環 $R$ の元 $c$ がある正整数 $n$ により $c^n=0$ となるとき、$c$ を巾零元と言います。 $R$ が単位元 $1$ を持ち、$c$ が $R$ の巾零元ならば、 $1-c$ は $R$ の単元となることを示しなさい。

問題 2.14   有限個の元しか持たない整域は、体となることを示しなさい。

問題 2.15   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ (つまり、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) が $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を元として含むとき、 $\sqrt{2},\sqrt{3}$ も $R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.16   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ が $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として含むとき、 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ も $R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.17   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ について、次の二つの条件は同値であることを 示しなさい。

1. $\sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$ .
2. $\sqrt{3}\in R$ かつ $\sqrt{7}\in R$ .

問題 2.18   前問で、$R$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含む、という条件を 外しても同様のことが言えるだろうか。 正しいなら証明し、間違っているなら反例を あげなさい。

問題 2.19   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ で、 体でないようなものは存在するだろうか。 (難問である。この問題については大枠が示せれば良い。)

問題 2.20  

1. $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ は ${\mathbb{C}}$ の部分環だろうか？
2. $S$ を含む、 ${\mathbb{C}}$ の部分環で、最小のもの(つまり、$S$ で 生成される ${\mathbb{C}}$ の部分環)はなにか？