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documentclass[12pt]amsart
usepackageeucal,amssymb
par
newedtheoremtheorem定理[section]newedtheoremnitheoremあまり重要でない定理[section]renewedcommandthenitheorem
newedtheoremrefpropPropositionrenewedcommandtherefprop
newedtheoremcor系[section]newedtheoremlemma補題[section]newedtheoremfact事実[section]newedtheoremproposition[theorem]命題newedtheoremaxAxiompar
theoremstyledefinition
newedtheoremdfn定義[section] newedtheoremexmp例[section] newedtheoremexample例[section]newedtheoremdefinition定義[section] newedtheoremq問題[section] newedtheoremexq例題[section] newedtheoremkeywd数学のキーワードpar
theoremstyleremark
newedtheoremrem注意[section]newedtheoremclaim[]renewedcommandtheclaim par
numberwithinequationsection
par
newedcommandtheoremref[1]Theorem ref#1
newedcommandsecref[1]Sref#1
newedcommandlemref[1]Lemma ref#1
par
newedcommandZmbox
newedcommandQmbox
newedcommandRmbox
newedcommandNmbox
newedcommandImbox
par
newedcommandLeg[2]mbox
newedcommandFpmbox
newedcommandkpekembox
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newedcommandbigzerousmashlower1.7exhboxhuge 0
par
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begindocument
renewedcommandthepage
title[代数学 I No.thistime ]代数学 I No.thistime 試験問題
quad
vskip-3pc
maketitle
par
setcountersectionthistime
par
noindent
par
newedcommandmymondaiI
環準同型
で、
を満たすものについて
考えたい。 そのようなものがあったとして、
beginenumerate
item
はいくらになるべきだろうか。
item
はいくらになるべきだろうか。
item
にたいして、
を求めなさい。
endenumerate
par
par
newedcommandmymondaiII
begintheorem_type[q][q][section][definition][][]
から
への環準同型は存在するだろうか。endtheorem_type
par
newedcommandmymondaiIII
begintheorem_type[q][q][section][definition][][]
環準同型
を考える。 (ただし、
は 整数
の
における
クラスをあらわす。)
par
beginenumerate
item
を求めよ。
item 環の準同型定理により
から導かれる単射準同形写像は
どんなものか?(この小問に限り説明不要。)
item
と
とでユークリッドの互除法を行ない、
をみたす
を一つ求めなさい。
item
をみたす
を一つ求めなさい。
item
で割ると
あまり、
で割ると
あまり、
で割ると
余るような正の整数の例を3つ挙げなさい。
endenumerate
parendtheorem_type
par
注意:
beginitemize
item 持ち込みはなんでも可である。但し通信機能を持つものや、
他人の迷惑になるものを除く。
item 解答用紙右上には忘れずに学籍番号と名前を書くこと。
item いずれの問題でも、十分な説明(理由)が書いていない解答については
たとえ正解であってもほとんど評価しない。
enditemize
par
begintheorem_type[q][q][section][definition][][]
mymondaiIendtheorem_type
mymondaiII
mymondaiIII
par
pagebreak
setcounterq0
begintheorem_type[q][q][section][definition][][]
mymondaiIendtheorem_type
par
noindent 解答:
par
noindent(1):
beginalign*
6varphi(frac16)
&=
varphi(frac16)
+varphi(frac16)
+varphi(frac16)
+varphi(frac16)
+varphi(frac16)
+varphi(frac16)
&=varphi(
frac16
+frac16
+frac16
+frac16
+frac16
+frac16
)
=varphi(1)=(1,1,1)
endalign*
ゆえに、
par
noindent(2):
par
noindent(3) (1) と同様にして、
がわかる。
と書くと
beginalign*
varphi(p)&=varphi(sum_j p_j X^j)
&=sum_j varphi(p_j) varphi(X)^j
&=sum_j (p_j,p_j,p_j)cdot (1,2,3)^j
&=(sum_j p_j 1^j , sum_j p_j 2^j, sum_j p_j 3^j)
&=(p(1),p(2),p(3))
endalign*
つまり
par
pagebreak
mymondaiII
par
noindent
解答:存在しない。
par
noindent
理由: もしそのようなもの
があったとすると、
となって矛盾するから。
par
mymondaiIII
par
noindent(解答):
par
noindent(1):
beginalign*
Ker (psi)
&=psi^-1([0 ]_3,[0]_5,[0]_7)
&={nin Z ;
[n]_3=[0]_3 text かつ
[n]_5=[0]_5 text かつ
[n]_7=[0]_7
}
&= { nin Z ; nin 3Z text かつ nin 5Z text かつ nin 7Z }
&=3cdot 5cdot 7Z = 105Z
endalign*
par
noindent(2):
noindent(3):
を利用する。
より
は求めるものの一つである。
par
noindent(4):
5 と
とで互除法を行ない、
を得る。上と同様にして
beginalign*
psi(-35)&=([1]_3,[0]_5,[0]_7)
psi(21)&=([0]_3,[1]_5,[0]_7)
psi(15)&=([0]_3,[0]_5,[1]_7)
endalign*
をえる。(最後の式は
と上二式から得られる。)
par
beginalign*
&([1]_3,[2]_5,[3]_7)
=& 1([1]_3,[0]_5,[0]_7)
+2([0]_3,[1]_5,[0]_7)
+3([0]_3,[0]_5,[1]_7)
=&psi(-35) +2 psi(21)+3psi(15)
=&psi(-35+42+45)=psi(52)
endalign*
par
ゆえに
は一つの例である。
par
noindent(5):
par
など。
par
enddocument
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2008-01-29