をみたす を一つ挙げ、実際にその が 上記の性質を満たすことを示しなさい。
(解答)
と置けば良い。 実際、このとき、 とおいて、
とすると
(あ) | ||
(い) |
(う) |
をみたす を一つ挙げ、実際にその が 上記の性質を満たすことを示しなさい。
(解答)
とおけばよい。 実際、このとき、 とおいて、
とすると
(あ) | ||
(い) |
(う) |
(え) |
がなりたつ。これらに注意して を下のように評価すれば良い。
三角不等式 | ||
と定義する。この時、
(解答)
(1) (S1), (S2) により、
が容易にわかる。 よって、
もし仮に が で連続であったとすると、 (連続性の定義の として を採用して、)
(あ) |
(すなわち、 以上であるような最小の整数)をとって、
とおくと、
であることがわかる。 (この解答例では詳細は略するが、実際には確かめたほうが良い。) これは (あ) と矛盾するから、 は で連続では ないことがわかる。
(2) (S1), (S3) により、
が容易にわかる。 あとは、連続性の定義の として を 採用すれば (1) と同様の議論で が連続になり得ないことがわかる。
(解答の注意と補記)
(注意)
問題15.1 では、三角不等式の使い方が誤っている誤答例をよく見かけた。 ただしくなりたつのは
や
である。(なお、後者は前者の変数変換により容易に得られる。)
問題15.2 のポイントは、分母の評価である。 分母、分子ともに正の数の分数においては、 分母が小さくなるほど値が大きくなる。 したがって、解答例の(え)のような評価が必要である。
問題15.3 のグラフは教科書のP.18 にある。(ただし の部分だけ) この関数の での値をどう定めようと決して連続にはなり得ない というのが問題の意味。解答例では として を採用したが、もちろん他の値でも良い。ガウス記号を用いるのも良いし、 日本語で「○○より大きい整数」のように書いても良い。
(補記) 問題15.1, 15.2 は関数の連続性を問う問題である。 実際にはこれらの式の連続性を言うには、教科書の定理1.11 を 用いるほうがずっと易しい。 たとえば、問題15.1 の の連続性を確かめるにはつぎのようにしてやればよい。