今回から、関数の話に話題の重点をうつす。
これから、 「 の近くで定義されている(実数値)関数 」 という言い方をもちいることがある。これは、 次の二つの状況を同時に満足していることを 言い表す言葉である。
は実数 の近くで定義された関数であるとする。このとき、 が に近づくときの の極限値 は である (「 のとき は に収束する」とも言う) とは、
が満たされるときに言う。
とかく。
は実数 の近くで定義された関数であるとする。このとき、 が に近づくときの の右極限値 は である (「 のとき は に収束する」とも言う) とは、
が満たされるときに言う。 および が与えられたとき、右極限値も もし存在すれば一意的である。これを
と書く。左極限値も同様に定義される。
関数 が実数 の近くで定義されていて、
がそれぞれ存在し、なおかつ であるとき、 も の近くで定義されて(すなわち、 ある が存在して、
が分母が 0 にならずに定義されて)
であることを証明しなさい。