数学概論1A要約 No.6

定理 6.1 (``定理1.6''[区間縮小法])   閉区間の列 $I_n$ について、 $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset I_4 \supset \dots$ がなりたつとする。このとき、

$$\bigcap_{n} I_n \neq \emptyset.$$

さらに、 $I_n$ の長さを $\operatorname{length}(I_n)$ と書くとき、

$$\lim_{n\to \infty}(\operatorname{length}(I_n))=0$$

のなりたつならば、 $\bigcap_{n} I_n$ はただ一点のみからなる。

定義 6.1   数列 $\{a_n\}$ が与えられているとする。このとき、 自然数の増加列 $n_1<n_2<n_3\dots$ を定めて、

$$\{a_{n_j} ; j=1,2,3,\dots\}=\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty =\{a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots\}$$

を $\{a_n\}$ の部分列という。 (テキストの 1.2.6 は少し書き間違いがあるので注意。)

定理 6.2 (``定理1.9'')   [ボルツァノ・ワイエルシュトラス] 有界な数列は、収束する部分列を持つ。

問題 6.1  

数列 $\{a_n\}$ を

$$a_n= \frac{(\text{$n$ の(正の)約数の数})}{n}$$

で定義する。このとき、

1. $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ ,..., $a_{15}$ を折れ線グラフに描きなさい。
2. $\{a_n\}$ は収束するか、理由を挙げて答えなさい。
3. $\{a_n\}$ の部分列で収束するものがあれば、その具体例を答えなさい。