日本語技法 No.6

集合算

$x$ についての命題 $P(x)$ と

$$S_P= \{ x; P(x)\}$$

を対応づけると、命題の議論を集合の議論に置き換えられることがある。

それ以外にも、命題と集合とのあいだには密接な関係がある。

$$S_P \cap S_Q=\{x; P(x)\wedge Q(x)\}$$

$$S_P \cup S_Q=\{x; P(x)\vee Q(x)\}$$

$$\complement S_P =\{x; \neg P(x)\}$$

集合の包含関係

$$S\subset T {\Leftrightarrow} \forall s (s\in S \implies s\in T)$$

集合を扱うときに、例えば、

• 有理数
• 有理数の集合
• 有理数全体の集合

はそれぞれ違うものである。明確に区別する必要がある。

集合と写像を組み合わせた問題は、論理力をみがく格好の材料である。

定義 6.1   写像 $f:X\to Y$ が与えられているとき、

1. $X$ の部分集合 $A$ に対して
   $$\{ f(x); x\in A \}$$
   を $A$ の $f$ による像といい、$f(A)$ で表す。
2. $Y$ の部分集合 $B$ に対して
   $$\{ x\in X; f(x)\in B \}$$
   を $B$ の $f$ による逆像といい、$f^{-1}(B)$ で表す。

レポート解答における注意事項

• すでに証明された結果(...である。)と、 これから証明すべき結果(...を証明しよう。)、 仮定(...を仮定する)の区別が明確になるように書くこと。
• 図やグラフを描いた場合、そのどの部分に着目するかを必ず書くこと。

問題 6.1   定義 6.1 の状況の下で、 $A_1,A_2 \subset X$ , $B_1,B_2\subset Y$ とするとき、

$$f(A_1)\cap f(A_2)=f(A_1\cap A_2)\tag あ$$

$$f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)=f^{-1}(B_1\cap B_2)\tag い$$

はいつでも正しいだろうか。正しい場合には証明し、 正しくない場合には具体的な反例を挙げよ。

面白いことに、写像を扱う上では、 「像」よりも「逆像」のほうが楽な場合が多い。 たとえば、「逆像をとる」という操作は 集合の和、共通部分を考える操作など多くの操作と可換である。