解答:
(1) とおく。 であって、なおかつ であることを示そう。 そうすれば
であることがわかる。
Part 0)まずつぎの補題を証明しておく。
ならば のうちどれか一つは の元の二乗である。
と書ける。両辺を二乗すると
仮定により、 ゆえ、 すなわち と は 上一次独立である。よって、
とくに 後者の式から または がわかる。 場合分けをしよう。
(i) の場合。
すなわち
がなりたつ。これは が の元の二乗でないという仮定に反する。
(ii) の場合。
がなりたつ。これは が の元の二乗でないという仮定に反する。
どの場合も矛盾が生じたから、補題が正しいことが証明されたことになる。
Part I) を求めよう。それには
なる部分体の列を考えて、各ステップでの拡大次数を各々求めれば良い。 それぞれのステップでは、平方根を一つだけ付け加えているのであるから、 拡大次数は2か、または 1(全く拡大していない)かのいずれかである。
講義で述べたように、 は有理数でない。したがって、
つぎに、 のいずれも の元でないことから、補題を用いて、 がわかる。ゆえに、
さらに、 である。これを 示そう。背理法で、 と仮定すると、補題を の場合にもちいて、 の いずれかが に属さねばならなくなる。再び補題を (今度は として)もちいると、
のいずれかが に属さねばならないことになるが、これは講義で のべたように矛盾。
よって、
結局
は 上のベクトル空間として
の つで生成されていることが容易にわかるから、 上の次元の計算はこれら つが 上一次独立であることを保証している ことにも注意しておこう。
Part II) を求めよう。 の 上の生成元 の 共役はそれぞれ のなかに存在するので、 は の 有限次正規代数拡大、すなわちガロア拡大である。 の元は の 各々の行き先(それぞれ二通り)を決めてやると決まり、高々 8個しかない。
他方で、 であるから、結局上記可能性の すべてがガロア群の元として許されることになる。すなわち、 にたいして、 を
Part III) を示そう。 を . に作用させると、
Part I) の最後に注意したように、 は 上一次独立であるから、
がわかる。とくに、 ガロアの基本定理によりこれは を意味している。
(2)
であるから、
である。 が の中を うごくとき、上の式がちょうど二つの値をとるようにすればよい。 それには の係数のうち、 ちょうど二つが 0 になるように選べば良いから、つぎの3とおりが考えられる。 (解答としてはこの中のどれでもいいから二つを書いてあれば良い。)
(あ) , すなわち のとき。
このときは である。
(い) , すなわち のとき。
このときは である。
(う) , すなわち のとき。
このときは である。