代数学III 要約 No.9

今日のテーマ

$K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の拡大体 $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt[3]{2}]$ のように、$L$ の元 $\sqrt[3]{2}$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の共役が必ずしも $L$ に属するとは限らない場合がある。 そのような例と「良い」例とを区別するため、つぎの定義を用意する。

定義 9.1   $K$ の有限次代数拡大体 $L$ が $K$ の正規代数拡大であるとは、 $L$ の任意の元 $a$ に対して、 $a$ の $K$ 上の最小多項式 $f_a(X)$ が $L$ 上では一次式の積に分解するときに言う。

定義から、次のことは容易に分かる。

補題 9.1   $K$ の有限次代数拡大体 $M$ と、そのまた有限次代数拡大体 $L$ があったとする。 もし、$L$ が $K$ の正規代数拡大体ならば、$L$ は $M$ の正規拡大体でもある。

正規拡大の判定条件は、つぎのとおり。

補題 9.2   体 $K$ とその代数拡大体 $L$ があって、 $L=K(a_1,a_2,\dots,a_n)$ であるとする。 このとき、$L$ が $K$ 上の正規拡大体であるための必要十分条件は、 $a_1,a_2,\dots,a_n$ の共役がすべて $L$ に属することである。

命題 9.1   体 $K$ の任意の有限次代数拡大体 $M$ に対して、$M$ を部分体として含むような $K$ の有限次代数拡大 $L$ で、$K$ の正規代数拡大であるようなものが 存在する。

定義 9.2   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分体として含む体 $K$ にたいして、$K$ の有限次正規代数拡大体 のことを $K$ の(有限次)ガロア拡大と呼ぶ。

定義 9.3   体 $K$ のガロア拡大が与えられているとする。 $L$ の環としての自己同型で、$K$ の元を動かさないものを $\operatorname{Gal}(L/K)$ (または $\operatorname{Aut}_K(L)$ )と書き、$L$ の $K$ 上のガロア群と呼ぶ。

ガロア群と、体とのあいだの関係を記述するのが、いわゆるガロア理論である。

問題 9.1  

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の 0 でない一変数多項式 $f(X)$ で、

$$f(\sqrt[3]{5}+\sqrt{7})=0$$

を満たすものを一つ挙げて、その理由を述べなさい。 答えは因数分解されたかたちで書いてもよい。

問題 9.2   体 $K$ 上の一変数多項式 $f$ が与えられたとする。このとき、$f$ の全ての根 を $K$ に付け加えた体 $L$ は $K$ の正規拡大体であることを示しなさい。