代数学III 要約 No.5

今日のテーマ

定義 5.1   $K$ の拡大体 $L$ が与えられているとする。このとき、$L$ は $K$ 上の ベクトル空間とみなすことができる。 そのようにみたときの $L$ の $K$ ベクトル空間としての次元を $L$ の $K$ 上の 拡大次数と呼び、$[L:K]$ で書き表す。

命題 5.1   前回の定理 4.2で、 $L$ の $K$ 上の拡大次数は $m$ の多項式としての次数と等しい。

定理 4.2 を用いると、次のことが分かる。

定理 5.2   体 $K$ の拡大体 $L_1$ と $L_2$ があって、 $L_1=K(a_1)$ , $L_2=K(a_2)$ をみたすような $a_1\in L_1$ と $a_2\in L_2$ があるとする。もし、$a_1$ と $a_2$ の $K$ 上の最小多項式が等しいならば、$L_1$ から $L_2$ への 環としての準同型写像 $\phi$ で、 $\phi\vert _K={\operatorname{id}}$ , かつ $\phi(a_1)=a_2$ を 満たすものが唯一つ存在する。

上の定理の $\phi$ は一種の「共役をとる写像」(No.1 参照)である。 とくに $L_1$ と $L_2$ とが(たまたま)等しいときが大事である。

つぎの補題は、本題からは少し外れるが、 便利なのであげておく。一部分は一学期の代数学IIでやっているはずである。

補題 5.1 (既約性の判定法)  

1. 2次または3次の多項式 $f(X)\in K[X]$ が $K$ 上既約であるための 必要十分条件は、 $f(a)=0$ をみたすような $a\in K$ が存在しないことである。
2. 4次の多項式 $f(X)\in K[X]$ が $K$ 上既約であるための 必要十分条件は、 $f(a)=0$ をみたすような $a\in K$ が存在せず、かつ $f$ がいかなる2次の因数 $g(X)\in K[X]$ ももたないことである。
3. 整数係数の多項式 $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ にたいして、 $f$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ 上 可約ならば、$f$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ 上可約である。(ガウス)
4. $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ に有理数解 $p/q$ ($p,q$ は互いに素な整数)が 存在するなら、$p$ は $f$ の定数項の約数であり、 $q$ は $f$ の 最高次の係数の約数である。

問題 5.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ と $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[Y]/((Y-1)^2-8)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[Y]$ とは環として同型だろうか。 (理由も述べること。)