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代数学III 要約 No.2
今日のテーマ
定義 2.1
体
の部分集合
が
の部分体であるとは、
自身が
の演算で体になっているときに言う。
定義 2.2 (体に元を付け加えてできる
体)
体
と、その部分体
, および
の元
が
与えられているとする。
このとき、
と
とを含む
の部分体のうち最小のものを
(
丸括弧に注意)
と書き、
に
を付け加えてできる体と呼ぶ。
定義 2.3
体
は体
の部分体であるとする。
が解になるような
上の一変数多項式
であって、
をみたすものが存在するとき、
は
上代数的であると呼ぶ。
命題 2.1
体
が体
の部分体であって、
が
上代数的であれば、
の任意の元は
の
係数の多項式で書くことができる。
上の命題の証明はユークリッドの互除法を用いるのがもっとも普通である。
ユークリッドの互除法については、現3年生は代数学IのNo.8で習っているはずである。
(
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2005_koki/
に 要約が置いてある。)
ここでは次の方法を説明しておく。
ユークリッドの互除法より安易だが、計算の手間はこちらのほうが少しだけ増える。
問題 2.1
は
を満たすような複素数であるとする。このとき、
を
の有理数係数の多項式に直しなさい。
2006-10-16