準同型定理の証明と準同型定理の応用
(補足)
第一回の準同型定理のステートメントでは、 は の部分群であるとだけ述べているが、実際には 正規部分群である。
次に問題になるのは、準同型定理をいかに使いこなすか、ということである。
で定義すると、 は全射準同型であり、 である。 群の準同型定理により、 は と との 同型を与えることがわかる。
が成立することが分かる。
で定めると、これは全射準同型写像になり、 の核は に 一致する。ゆえに、 は の正規部分群であり、
が成立することがわかる。
レポート問題
訂正:この問題は出題時誤った部分がありました。 (15のところが 12 で、それでは写像がうまく定義されない。) が、そのような誤りに気づくのも大事なので、 そのまま採点します。