準同型とは、演算を保つ写像の事である。
が成り立つときに言う。 準同型 が全単射でもある時、 を同型と言う。
により定めると、 は準同型である。これも同型である。
で定めると、 は準同型である。これは なら同型ではない。
で定めると、 は準同型である。これは同型ではない。
で定義すると、 は準同型である。これは同型ではない。
で定義する。このとき、 は準同型写像である。 ならば、 は同型ではない。
で定義すると、 は準同型である。これは行列式を扱う時の基本になる。
これまで、群には演算、というデータのほかに、単位元、逆元の存在が基本的である と言ってきた。これらは準同型で自動的に保存される。次の定理でそのことを示そう。
が成り立つ。
が成り立つ。
準同型の核
準同型を調べよ、と言われたらとりあえずその核を調べる。核は次のような性質と役割 をもつ。
※レポート問題
つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限:次の講義の終了時まで。)
で定めると、これは (i)写像としてうまく定義されているけれども (ii)群の準同型写像ではないという事を示しなさい。
で定めると、これは群の準同型写像である事を示しなさい。