1=2

代数学 C(コア) No.2要約

部分群

群の部分群とは、部分集合であって群になっているもののことである。

ただし、部分群の掛け算はもとの群の掛け算と一致しなければならない。

部分群の定義に入る前に、群の定義から直ちに導かれる 性質についていくつか述べてみよう。 以下では $G$ の演算 $m(x,y)$ を単に $xy$ と書くことにする。

定理 2.1   $G$ は群であるとする。このとき、

1. $G$ の単位元はただ一つである。
2. $G$ の元 $x$ を一つとってくると、その逆元はただ一つである。(これを 普通 $x^{-1}$ と書く。)
3. $x\in G$ に対して、 $(x^{-1})^{-1}=x$ が成り立つ。
4. $a,b,c\in G$ が $ab=cb$ を満たすなら、必ず $a=c$ が成り立つ。
5. 任意の $a,b\in G$ に対して、 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ が成り立つ。
6. 任意の $a,b,c,d\in G$ に対して、
   $$((ab)c)d=(ab)(cd)=a(b(cd))=a((bc)d)=(a(bc))d$$
   が成り立つ。すなわち４つの元のかけ算は $a,b,c,d$ の順番のみに依り、かけ算の 順番には依らない。(この積のことを普通単に $abcd$ と書く) (もっとたくさんの元の積についても同様のことが成り立つ。)

定義 2.1 (群の元のべき乗)   $G$ を群、 $x$ をその一つの元とする。

1. 自然数 $n$ に対して、$x^n$ (《$x$ の $n$ -乗》)は帰納的に次のように定義され る。

   $$x^0=e$$

   $$x^{n+1}=x^n x$$

   
   

2. $n$ が負の整数のときには、$x^n$ は $x^{-n}$ の逆元として定義する。

定理 2.2   $x^mx^n=x^{m+n}$

さて、本題に入る。部分群の正確な定義は次のようになる。

定義 2.2 (部分群の定義)  

群 $(G,m)$ が与えられているとする。$G$ の部分集合 $H$ が $G$ の部分群であるとは、次の条件を満たすときに言う。

(0)掛け算 $m:G\times G\to G$ を $H\times H$ に制限すると、これは $H$ に値を持つ。すなわち、次のような写像が誘導される。

$$m:H\times H \to H$$

(1) $(H,m)$ は 群である。

条件 (0) は次のように言い換えても良い。

(0$'$ ) $h,k$ を $H$ から任意に取ってくると、いつでも $m(h,k)$ は $H$ の元である。

例 2.1   次の集合はそれぞれ $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群である。

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 自身。
2. $\{0\}$ .
3. 偶数全体の集合 $2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
4. 3 の倍数全体の集合 $3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

次の集合はそれぞれ $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times)$ の部分群である。

1. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times$ 自身。
2. $\{1\}$ .
3. $\{\pm 1\}$ .
4. $\{2^n;n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}\quad (=\{1,... ...\}\cup \{\frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots\}$ )
5. $\{2^m3^n; m,n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$

例 2.2   次の集合はどれも群 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群でない。

1. 奇数全体の集合 $2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
2. $\{\pm 1\}$ .

定理 2.3   $G$ の部分群 $H$ が与えられたとする。 このとき$H$ の単位元は $G$ の単位元と一致し、$H$ の元 $h$ の $H$ での逆元 は $G$ での逆元と一致する。

定理 2.4   群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の部分群であるためには、 次の三条件が満足されることが必要十分である。

1. $a,b\in H \quad \implies \quad ab\in H$
2. $e \in H$
3. $a\in H \quad \implies \quad a^{-1} \in H$

定理 2.5 (今回は証明の一部分だけをやる。)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群は必ず

$$n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad (=\text{$n$ の倍数の集合}) \qquad (n=0,1,2,3,\dots)$$

のどれかである。(もちろん、 $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群になっている。)

※レポート問題

次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

実数の乗法群 $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times,\times)$ の部分集合だが部分群にはならない例 を一つ挙げなさい。(オリジナルであること)