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代数学 C(コア) 演習問題 No.11
今回は、一学期の目標である《群の準同型定理》について 出題します。
問題 11.1
から
への写像
を
で定めます。このとき、
は全射準同型写像であることを示しなさい。
によって
の各元が
のどの元にうつるか? 対応表を書き上げることによって示しなさい。
によって同じもの同士を同じクラスにして
をクラス分けし、 クラス分けの表を書きなさい。
を求めなさい
を
を法としてクラス分けしなさい。
問題 11.2
から
への写像
を
で定めます。このとき、
は準同型写像であることを示しなさい。
の像を求めなさい。
によって
の各元が
のどの元にうつるか? 対応表を書き上げることによって示しなさい。
によって同じもの同士を同じクラスにして
をクラス分し、 クラス分けの表を書きなさい。
の核を求めなさい
を
を法としてクラス分けしなさい。
問題 11.3
有限群
が一つの元
で生成されているとき、
は有限巡回群と同型であることを示しなさい。
問題 11.4
無限群
が一つの元
で生成されているとき、
は
と同型であること を示しなさい。
問題 11.5
は
の正規部分群であることを示しなさい。
写像
を、
で定義すると、
は準同型写像になることを示しなさい。
上の
の核を求め、
が
と同型であることを 示しなさい。
問題 11.6
はそれぞれ正の整数であるとします。 この時、
は
と同型であることを示しなさい。
問題 11.7
複素数
に対して、その共役を
であらわします。このとき、
は複素数全体のなす加法群
からそれ 自身への同型写像を与えることを示しなさい。
は複素数全体から 0 を 除いたもののなす乗法群
からそれ自身への同型写像を与えるこ とを示しなさい。
問題 11.8
複素数を成分に持つ行列
に対して、その随伴行列
を、
で定義します。(すなわち、
は、
の転置行列
の各行列成分 についておのおのの複素共役をとったものです。) 例えば、
と言う具合です。この時、
複素数を成分に持つ
-次正方行列 (=
-行列)全体を
と書 けば、
は行列の加法群
からそれ自体 への同型写像であることを示しなさい。
複素数を成分に持つ可逆
-次正方行列 (=
-行列)全体を
と書けば、
は可逆行列全体のなす乗法群
(一般線型群と呼ばれる)からそれ自体への同型写像であることを 示しなさい。
問題 11.9
複素数を成分に持つ正方行列
がユニタリ行列であるとは、
(単位行 列) が成り立つ時に言います。さて、ユニタリ行列全体
は乗法に関して群を なすことを示しなさい。(
はユニタリ群と呼ばれます。)
問題 11.10
写像
は準同型であることを示しなさい。
であることを示しなさい。
がユニタリ行列なら、
であることを示しなさい。
問題 11.11
はともに群
から 群
への準同型であるとします。 このとき、
は
の部分群であることを示しなさい。
は
の正規部分群とは 限らないことを、実例を挙げて示しなさい。
問題 11.12
同型
の存在を示しなさい。
問題 11.13
が群のあいだの準同型で、
の正規部分群
が、
(
は
の単位元) を満たすならば、 準同型
が存在して、
を満たすことを示しなさい。 ただし、ここで、
は自然な準同型のこととします。
問題 11.14
は
の正規部分群となり、剰余群
は
と同型であるということを示しなさい。
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2006-06-26