代数学 C(コア) 演習問題 No.7

$G$ を群、$H$ をその部分群とする。このとき、 $G$ に、次のようにして同値関係 $\equiv_H$ が定まります。

$$x\equiv_H y {\Leftrightarrow}$$   ある $h&isin#in;H$ があって、$$xh=y$$ が成り立つ。

この同値関係は群論においてはとくに重要なので、 記号 $x \equiv_H y$ の代わりに、

$$x \equiv y \quad ({\operatorname{mod}} H)$$

と書いて、 《$x$ は $y$ と$H$ を法として左合同である》と言う事にします。 考えている 部分群 $H$ が明確なときには、「 $({\operatorname{mod}} H)$ 」 を書くのは省略して良いです。 $x$ のクラス $C(x)$ を $x$ の $H$ を法とする左剰余類と言います。

定義 7.1   上のように決めた同値関係 $\equiv ({\operatorname{mod}} H)$ による $G$ の商集合 $G/\equiv$ を $G/H$ と書き、$G$ の $H$ による左剰余類集合という。

問題 7.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群として、 $H=55{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考えます。 このとき、

$$x\equiv 12 ({\operatorname{mod}} H)$$

となるような $x$ の例を5つ答えなさい。(なお、答には正の数ばかりでなく 負の数も入れること。)

定義 7.2   $n$ 個のもの $1,2,3,\dots,n$ の置換全体は群になります。 この群を $n$ 次の対称群とよび、$\frak S_n$ と書きます。

問題 7.2  

$$H=\{\sigma \in \frak S_3; \sigma(3)=3\}$$

と置きます。

1. $H$ の元を全て書き出しなさい。
2. $H$ を法とする同値関係によって、$\frak S_3$ がどのように クラス分けされるか、クラス分けの表をつくって示しなさい。
3. $\frak S_3$ の元
   $$\begin{pmatrix} 1& 2& 3 \\ i& j& k \end{pmatrix}$$
   が $\frak S_3$ の単位元 $e$ と $H$ を法とする同値関係で 同値になるのはいつか、$i,j,k$ を使って 答えなさい。

問題 7.3   前問で、 $\frak S_3$ を $\frak S _4$ に換えて、

$$H=\{\sigma \in \frak S_4; \sigma(4)=4\}$$

と置きます。このとき前問と同様な問題に答えなさい。

問題 7.4   $n$ を正の整数とします。

$$H=\{\sigma \in \frak S_n; \sigma(n)=n\}$$

と置きます。

1. $H$ は $\frak S_{n-1}$ と同一視できることを示しなさい。
2. $\frak S_n/H$ の元の個数を求めなさい。

問題 7.5   有限巡回群 $C_n=\langle g_1; g_1^n=e \rangle$ について考えます。

1. $C_{12}$ の、$\{g_1^3\}$ によって生成される部分群 $H_1$ は 何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。
2. $C_{12}$ の、$\{g_1^5\}$ によって生成される部分群 $H_2$ は 何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。
3. $C_{12}$ の、 $\{g_1^{10}\}$ によって生成される部分群 $H_3$ は 何になるか、元を全て挙げることによりいいなさい。
4. $C_{12}/H_?$ (?=1,2,3) の元の個数を求めなさい。

問題 7.6   $C_{20}=\langle g_1; g_1^{20}=e \rangle$ の、 $H=\langle \{g_1^4\} \rangle$ を法とする同値関係によるクラス分けを、クラス分けの表を つくって示しなさい。

問題 7.7   $n,l$ を正の整数とします。 $C_n$ の部分群 $H$ を、 $H=\langle \{g_1^l\} \rangle$ により決めます。 このとき、$H$ の元の個数と、左剰余類集合 $C_n/H$ の 元の個数を求めなさい。

問題 7.8   $n$ を正の整数とします。

$$H=\{\sigma \in \frak S_n; \sigma(n)=n$$    かつ $$\sigma(n-1)=n-1\}$$

と置きます。

1. $H$ は $\frak S_{n-2}$ と同一視できることを示しなさい。
2. $\frak S_n$ の二元
   $$\begin{pmatrix} 1 &2 & 3 & \dots & n-1 & n\\ i_1&i_2&i_3&\dots&i... ...trix} 1 &2 & 3 & \dots & n-1 & n\\ j_1&j_2&j_3&\dots&j_{n-1}&j_n \end{pmatrix}$$
   が $H$ を法として同値なのはどういう時ですか？
3. $\frak S_n/H$ の元の個数を求めなさい。

問題 7.9  

1. ${\mathbb{C}}^\times=\{z\in{\mathbb{C}}; z\neq 0\}$ はかけ算に関して群になることを示しなさい。
2. $H=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ は ${\mathbb{C}}^\times$ の部分群になることを示しなさい。
3. ${\mathbb{C}}^\times$ は $H$ を法としてどのようにクラス分けされるか、 複素平面を利用して説明しなさい。