《生成される部分群》
群 と、その部分集合 とが与えられているとします。このとき、
で生成される の部分群とは、 を含む最小の部分群のことです。
特に、 自身が で生成される の部分群であるとき、 単に、「 は で生成される。」といいます。
一つの元で生成される群を巡回群といいます。
《生成される部分群》の正確な定義は次のようになります。
群 とその部分集合 とが与えられているとします。 の部分群 が で生成される の部分群である (記号では と書く) とは、次の条件を満たすときに言います。
(0) は を部分集合として含む の部分群である。
(1) は上の条件 (0) を満たすもののうち最小のものである。 すなわち、次のことが成り立つ。
が、 を部分集合として含む の部分集合であれば、 は の部分群になる。
は、 の部分群であって、 ある行列 により、 と なる(つまり は で生成される)ことを示しなさい。
で生成される群を求めなさい。
で生成される群を求めなさい。
と定義します。 の、 で生成される部分群を求めなさい。
が成り立つことを示しなさい。
が成り立ったとすると、 で生成される の部分群 の任意の元 について
が成り立つことを示しなさい。