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代数学 A No.7要約
《環の準同型定理の利用法》
例 7.1 (準同型定理の基本例1)

から

への写像

を、
![% latex2html id marker 1002
$\displaystyle f([n]_{100})=[n]_{10} \quad \quad ($](img5.png)
$[?]_n$ は $$

$/n$

$$ における
$?$ の同値類
で定めると、次のことが分かる。
は写像としてうまく定義されている。
すなわち、
の定義は代表元のとり方によらない。
は環の準同型である。
の像は
全体である。
の核は
である。
よって、準同型定理により、
が結論される。
例 7.2 (準同型定理の応用例1)
![$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$](img10.png)
から
![% latex2html id marker 1026
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$](img11.png)
への写像

を、
で定めると、次のことが分かる。
は写像としてうまく定義されている。
すなわち、
の像は
からはみ出さない。
は環の準同型である。
の像は
全体である。
の核は
である。
よって、準同型定理により、
が結論される。
例 7.3 (準同型定理の応用例2)

を、
で定め、
![$ {\mathbb{C}}[X]$](img19.png)
から

への写像

を、
で定めると、次のことが分かる。
は環の準同型である。
の像は
である。
の核は
である。
よって、準同型定理により、
が結論される。
※レポート問題
つぎのうち一問を選択して解きなさい。
(期限:次の講義の終了時まで。)
- (I).
- 環としての同型

![$ [X]/(X^2+1)$](img26.png)

が
存在することを示しなさい。
- (II).
-
と置くとき、
-
であることを示しなさい。
-
の 0 でない零因子を一つあげなさい。
-
の 0 でない零因子を一つあげなさい。
平成17年11月24日