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代数学 I No.5要約

《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

定義 5.1   可換環 $R$ があたえられたとする。

1. $R$ に 0 以外の零因子がないなら、 $R$ は整域であるという。
2. $R$ の 0 以外の元が $R$ で可逆であるとき、$R$ は体であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.2   可換環 $R$ のイデアル $I$ ($R\neq I$)について、

1. $R/I$ が整域であるとき、$I$ は $R$ の素イデアルであるという。
2. $R/I$ が体であるとき、$I$ は $R$ の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来はもっとあとのほうで述べる。 さしあたっては、次の例が重要である。

例 5.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $\{0\}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の素イデアルであるが、 極大イデアルではない。
2. 素数 $p$ があたえられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の極大イデアルである。
3. 正の数 $n$ が素数でなければ、 $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の 素イデアルではない。

定義 5.3   素数 $p$ が与えられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は(上の例に述べたように)元の数が $p$ の体である。 この体を ${\mathbb{F}}_p$ と書く。

補題 5.1   環 $R$ と、その上の一変数多項式 $f(X)$ が与えられているとする。 $d=\deg(f)$ ($f$ の次数)とおくとき、

1. $R$ が整域ならば、 $f(r)=0$ をみたす $R$ の元 $r$ は $d$ 個以下である。
2. $R$ が整域でなければ、 $f(r)=0$ をみたす $R$ の元 $r$ が $d$ 個以上存在する場合もある。

(2)の例:

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$, $f(X)=3 X$ は一次式だが、$0,2,4$ のどれを代入しても 0 である。
2. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$, $f(X)=(X-1)(X-2)$ は二次式だが、$1,2,4,5$ のどれを代入しても 0 である。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

正の数 $n,d \geq 2$ と、 $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の $d$ 次多項式 $f(X)$で、 $f(x)=0$ をみたす $x\in R$ の数が $d$ 個より多いものの例を 挙げ、実際にそのような $x\in R$ を $d+1$ 個以上書きなさい。