代数学演習 I 問題 No.11

問題 11.1   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ の元を全て挙げなさい。

問題 11.2   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の元を全て挙げなさい。

問題 11.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ であることを示しなさい。

問題 11.4   $l,m$ を互いに素な正の整数とし、

$$f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

を

$$f([x]_{lm})=([x]_l,[x]_m)$$

で決める。このとき、

1. $f$ はうまく定義されていることを示しなさい。
2. $f$ は環準同型であることを示しなさい。
3. $f$ の核はどうなるか？
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元の個数をそれぞれ言いなさい。
5. $f([x]_{lm})=([1]_l,[0]_m)$ を満たす整数 $x$ が 存在することを示しなさい。
6. 上の $x$ にたいして、
   $$x= k_1 l +1 =k_2 m$$
   なる整数 $k_1,k_2$ が存在することを示し、そのことから、
   $$a l +b m=1$$
   を満たす $l,m$ が存在することの証明を与えなさい。

問題 11.5  

1. ${\mathbb{C}}[X]$ のなかの元 $f(X)$ で、 $3 X$ で割ると $1$ 余り、 $5 X^2-1$ で割ると $X+3$ 余るような ものの例を一つ挙げなさい。
2. 上のような $f(X)$ を全て求めなさい。