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代数学III 要約 No.9
今日のテーマ
定義 9.1
の拡大体
が
の正規代数拡大であるとは、
の任意の元
に対して、
の
上の最小多項式
が存在して、
上では一次式の積に分解するときに言う。
定義から、次のことは容易に分かる。
補題 9.1
の拡大体
と、そのまた拡大体
があったとする。 もし、
が
の正規代数拡大体ならば、
は
の正規拡大体でもある。
正規拡大の判定条件は、つぎのとおり。
補題 9.2
体
とその代数拡大体
があって、
であるとする。 このとき、
が
上の正規拡大体であるための必要十分条件は、
の共役がすべて
に属することである。
命題 9.1
体
の任意の有限次代数拡大体
に対して、
を部分体として含むような
の有限次代数拡大
で、
の正規代数拡大であるようなものが 存在する。
定義 9.2
を部分体として含む体
にたいして、
の有限次正規代数拡大体 のことを
の(有限次)ガロア拡大と呼ぶ。
定義 9.3
体
のガロア拡大が与えられているとする。
の環としての自己同型で、
の元を動かさないものを
(または
)と書き、
の
上のガロア群と呼ぶ。
ガロア群と、体とのあいだの関係を記述するのが、いわゆるガロア理論である。
問題 9.1
上の 0 でない一変数多項式
で、
を満たすものを一つ挙げて、その理由を述べなさい。 答えは因数分解されたかたちのものでもよい。
問題 9.2
体
上の一変数多項式
が与えられたとする。このとき、
の全ての根 を
に付け加えた体
は
の正規拡大体であることを示しなさい。
平成16年6月14日