代数学III 要約 No.6

今日のテーマ

前回までに述べたように、 体 $K$ 上一つの代数的な元で生成されるような体 $K(\alpha)$ は、$\alpha$ の最小多項式 $m(X)$ を用いて 構成される環 $K[X]/m(X)K[X]$ と同型であり、それを用いて「共役」の 概念が確立されることになるわけだが、$K$ に複数の元を付け加えた場合は どうだろうか。次の定理がそれに答える。

定理 6.1   $K$ は有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分体に持つような体であるとする。 $K$ 上代数的な元 $\alpha,\beta$ にたいして、

$$K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)$$

を満たすような $c\in K$ が存在する。(実は、もっと強く、上の 式を満たさないような $c\in K$ は有限個しかないということが言える。)

問題 4.1[再掲] について、

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元 $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$ で、 $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ にたいして $f_1(a)=f_2(a)=f_3(a)=f_4(a)=f_5(a)$ を 満たすようなものを見つけなさい。

この問題はやさしいのであるが、誤答が目だったので解説する。

問題 6.1  

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})=$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$$

が成り立つことを示しなさい。

問題 6.2   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上代数的な元 $\alpha,\beta$ で、

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha+\beta) \neq$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\beta)$$

であるようなものの例を挙げなさい。