代数学III 要約 No.1

標数 0 のガロア理論入門

ガロア理論といえばガロアの基本定理である。 それは、体と群の関係を与える。群がなぜでてくるかといえば、 「共役」という操作を集めてくるからである。以下「共役」の例を挙げてみよう。

$\bullet$ 複素共役

実数係数の多項式をもちいた関係式で $z_1=1+i$ と $z_2=1-i$ を 区別できるだろうか。例えば、$z_1$ は

$$z_1^2=2 z_1-2$$

という関係式を満たすが、これは $z_1$ を $z_2$ に置き換えても成り立つ。

実は、実数を係数とするどのような関係式も $z_1$ と $z_2$ と を区別することができない。これは方程式の言葉でいうと、 $z_1$ が実係数の多項式 $p(X)$ の根の一つなら、$z_2$ も 必然的に根である、と言い換えることもできる。

他方、複素係数なら両者は簡単に区別できる。例えば、

$$z_1^2=2 i$$

だが、$z_1$ を$z_2$ に入れ換えた式は正しくない。

$\bullet$ もっと一般の共役

有理係数で $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ は区別できるだろうか。

$\omega$ を $1$ の3乗根の一つとするとき、

有理係数で $\sqrt[3]{2}$ と $\omega\sqrt[3]{2}$ や $\omega^2\sqrt[3]{2}$ は 区別できるだろうか。

「有理数」、「実数」以外でも、このようなことが起こることは十分あり得る。

そのため、「体」を考えるのが便利である。

定義 1.1   集合 $K$ が体であるとは、$K$ の中で足し算引き算、およびかけ算ができて、 さらに 0 でない元が $K$ のなかで可逆であるときにいう。

一つの体を「持駒」として、どの程度のことができるか、あるいは、 その体はどのような性質をもつか、ということが基本問題である。 例えば、つぎのようなことを考えることができる。

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に $\sqrt[3]{2}\omega$ を付け加えるようなときには、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に $\omega$ を付け加え、しかる後に $\sqrt[3]{2}$ を 考えるのが自然である。

同様に $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を考える際には、 $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ を手駒に加えて行くのが得策であることが多い。実は次のようなことが成り立つ。

例 1.1   体 $K$ が $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を元として含むならば、$K$ は実は $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$ も元として含む。

これらのことがらは、ガロア理論の一部であり、ガロア理論を理解すると 方程式や体のことが手にとるように分かるようになる。

問題 1.1   体 $K$ が $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として含むならば、 $K$ は $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{15}$ を元として含むことを示しなさい。