代数学II 要約 No.11

今日のテーマ

シローの定理をもちいると、例えば次の結果を証明できる。

命題 11.1   $p,q$ は素数で、$p<q$ であるとする。このとき、 位数が $p q$ の群 $G$ について、次のことが言える。

1. $G$ には位数 $p$ の部分群 $H$ と、位数 $q$ の部分群 $K$ が存在する。
2. $K$ は $G$ の正規部分群である。
3. $G\cong H \ltimes K$ である。

シローの定理とは違うが、次のことにも注意しておこう。

補題 11.1   有限群 $G$ の部分群 $H$ が与えられたとき、

$$N_G(H)=\{x \in G; x H x^{-1} =H\}$$

は、$G$ の部分群であり、 $N_G(H)\subset H$ である。 $G$ の部分群で $H$ と共役なものの個数 $k$ は、 $[G:N_G(H)]$ にひとしい。 とくに、 $k$ は $[G:H]$ の約数である。

系 11.1   有限群 $G$ の位数が $p^a m$ ($m$ は $p$ で割り切れない)であるとする。 このとき、 $G$ の $p$-シロー群の個数 $k$ は $m$ の約数である。

シローの定理により $k-1$ は $p$ の倍数であることに注目すると、 上のこととあわせて $p$-シロー群の数について強い制限がつくことが分かる。

次の二つの補題も位数が低い群を調べる際には有効である。

補題 11.2   群 $G$ の素数位数の部分群 $P_1,P_2$ があるとき、$P_1=P_2$ または $P_1\cap P_2=\{e\}$ のどちらかが成り立つ。

補題 11.3   有限群 $G$ の位数 $n$ が素数 $p$ でただ一度だけ割れるとする。 すなわち、し、$n=p m$ で、$m$ は $p$ で割れないとする。 $G$ の $p$-シロー群の個数を $k$ 個とすると、 $G$ の元で、位数が $p$ のものはちょうど $(p-1)k$ 個である。

問題 11.1   位数 $2^2 \times 5$ の群 $G$ には必ず自明でない正規部分群 $N$ が 存在することを示しなさい。

問題 11.2   位数 $2^2 \times 3$ の群 $G$ の $3$-シロー群か $2$-シロー群のいずれかは正規部分群である ことを示しなさい。 (どちらの場合も起こり得る。)