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代数学II 要約 No.10
今日のテーマ
前回は、この定理の(1)の部分を証明したが、少し分かりにくかったかも知れぬ。
まず、定理の主張から説明しておこう。
の位数 を で割れるだけ割って、 回で割れなくなったとする。
例えば、 で なら、
は で 回割れて、 という具合である。このとき、 の部分群で、
位数 のものが存在するということである。
例 10.1
- 位数 の群には
位数 の部分群 (-シロー群)と 位数 の部分群
(-シロー群)が必ず存在する。
- 位数
の群には
位数 の部分群 (-シロー群)と 位数 の部分群
(-シロー群)、位数 の部分群が必ず存在する。
そのようなシロー群は、どのように見つければよいのか、これが前回の証明であって、
- もし の部分群 で、 より真に小さく、なおかつ が
の倍数であるようなものを見つけることができれば、話の対象を から に
移すことができる。( の部分群は の部分群でもあるからである。)
- の部分群 の例としては、 のいろいろな元 に対する
中心化群 を 考えることができる。 をいろいろとることで、
かなりの確率でそのような を見つけることができるだろう。
- もし不幸にもそのようなものが一つもなかったとするしよう。このときは
類等式を利用して、 の中心 は の倍数で
なければならないことが分かる。ところが の中心が大きければ、
の部分群 を適当にとって
それで剰余群を作ることにより と の二つに話を分けて
やはり話を位数が より小さな群に帰着させることができるのである。
最後の部分は、具体的には次のような補題を証明すればよい。
補題 10.1
- 可換群 の位数が素数 で割れるならば、 の元 で、
位数がちょうど のものが存在する。
- 群 の中心 の部分群 は、必ず の正規部分群である。
問題 10.1
の 2-シロー群、 3-シロー群の個数はそれぞれいくらか。
問題 10.2
の 2-シロー群、 3-シロー群、5-シロー群の個数はそれぞれいくらか。
平成16年6月21日