代数学II 要約 No.8

今日のテーマ

命題 8.1   二面体群

$$\mathfrak{D}_n=\langle a,b a^n=e, b^2=e, b a b^{-1} \rangle$$

は $C_2$ と $C_n$ との半直積である。 すなわち、

$$\mathfrak{D}_n = C_2 \ltimes C_n$$

がなりたつ。

このようなタイプの群は他にどのぐらいあるのだろうか。

定義 8.1   一般に、群 $G$ から $G$ への同型の全体はそれ自身写像の合成を 演算として群をなす。これを $G$ の自己同型群と呼び、 $\operatorname{Aut}(G)$ で 書き表す。

次の命題は前回の定理の整理(言い換え)である。

命題 8.2   $G=H\ltimes K$ の「ひねり」を考える。 $h\in H$ を一つ固定して、

$$K \ni k \mapsto {}^h k= h k h^{-1} \in K$$

なる写像を考えると、(これは $K$ が $G$ の正規部分群だから うまく定義されて、)

1. この写像は $K$ から $K$ への群自己同型すなわち $\operatorname{Aut}(K)$ の元になる。 これを $\psi_k$ とかく。
2. $\Psi: H \to \operatorname{Aut}(K)$ を $\Psi(k)=\psi_k$ で定義すると、 $\Psi$ は群準同型である。

逆に、群 $H,K$ および $H$ から $\operatorname{Aut}(K)$ への群準同型 $\Psi$ が 一つ与えられると、 それらのデータから $G$ を構成することができる。すなわち、 $G$ は、直積 $H\times K$ に次の乗法を導入したもの $H\ltimes_{\Psi} K$ と 同型である。

$$(h_1,k_1)\circ (h_2,k_2) =h_1 h_2 \Psi(h_2^{-1})(k_1 ) k_2$$

上のように整理しておくと、$K$ が巡回群であるような半直積 $G=H\times K$ を構成する問題は、 $C_n$ の群自己同型がどの程度あるかという問題に帰着される。

定理 8.3  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から群 $G$ への群準同型の全体は、$G$ の元の全体と一対一に対応する。
2. $C_n$ から群 $G$ への群準同型の全体は、
   $$\{g \in G; g^n=e\}$$
   の元(つまり、位数が $n$ の約数であるような $G$ の元)と一対一に対応する。
3. $C_n$ から群 $G$ への群としての同型の全体は、 $G$ の位数 $n$ の元の全体と一対一に対応する。

系 8.1  

$$\operatorname{Aut}(C_n)\cong ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\... ...${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ におけるクラスの全体のなす乗法群)}$$

系 8.2   $m,n$ が与えられたとき、半直積 $G=C_m \ltimes C_n$ を与えるような「ひねり」 を与えることは、

$$\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x^m=1\}$$

の元を一つ与えることと同じである。そして、そのような元 $x$ を与えると、 $G$ の生成元と関係式による表示が、

$$\langle b,a; b^m=e,a^n=e , b a b^{-1}=a^x \rangle$$

で与えられる。

問題 8.1  

$$G_1=\langle a, b ; a^7=e, b^3=e, b a b^{-1}=a^4 \rangle$$

の類等式を書き下しなさい。

問題 8.2   前問の $G_1$ と、

$$G_2=\langle a, b ; a^7=e, b^3=e, b a b^{-1}=a^2 \rangle$$

は同型だろうか。理由を述べて答えなさい。(かなり難問である。)