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代数学II 要約 No.7
今日のテーマ
定義 7.1
群
の部分群
と
が与えられたとする。このとき
の部分集合
を
で定義する。
は一般には
の部分群とは限らない。が、
が 「よい」場合には話は別である。
命題 7.1
群
の部分群
,
があって、
がさらに
の正規部分群ならば、
は
の部分群になる。
定義 7.2
どんな群
の部分群
,
があって、
がさらに
の正規部分群、
がなりたつとき、
は
と
の半直積であると呼び、
と書かれる。
と
の両方が
の正規部分群のときはどうだろうか。
命題 7.2
群
の正規部分群
が
をみたすならば、 任意の
と任意の
に対して、
が成り立つ。
上の定義
において、とくに
も正規部分群のときに
は
と
の直積であると呼ばれる。
半直積の構造は比較的よく分かる。
定理 7.3
のとき、
にたいして、
とかくと、
は
の元であり、
をみたす。逆に、群
,
および 上の二つの条件を満たす対応
があれば、
,
および
をつかって
を構成することができる。
問題 7.1
群
の部分群
で、
が
の部分群にならないようなものの 例を一つ挙げよ。(理由も述べること)。
平成16年6月3日