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代数学II 要約 No.5
今日のテーマ
群 には剰余類によるクラス分け以外にも、重要なクラス分けが存在する。
その一つが共役類によるクラス分けである。
定義 5.1
群
の元
と
とが
のなかで共役であるとは、
ある
があって、
が成り立つときにいう。
剰余類によるクラス分けと違って、今度は各クラスの人数はバラバラである。
さしあたってすぐ分かるのは
補題 5.1
の元
と
のなかで共役なものが
しかない(つまり共役類での
クラス分けで一人ぼっちになる)には、
が
の中心元であること
(すなわち
は
のどの元とも可換であること)
が必要十分である。
例 5.1
をクラス分けすると、
- のクラス
(1名からなるクラス)
- のクラス
(3名からなるクラス)
-
のクラス
(2名からなるクラス)
の三つに分かれる。もちろん、全体の人数は
であるから、
という等式が成り立つ。このように、共役類のクラス構成員の人数の総和と
群の位数とが一致することを表現する式を類等式と呼ぶ。
命題 5.1
置換
が
のなかで
共役なのは、
の「文字の入れ換え」によって
が得られるときで、
その時に限る。
上の命題は
のなかでの共役を言っていることに十分注意すること。
問題 5.1
群
の類等式を書きなさい。
問題 5.2
群
(
の偶置換全体のなす群)の類等式を書きなさい。
(
のなかで共役であっても
の中で共役とは
限らないことに十分注意すること。)
平成16年5月12日