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代数学II 要約 No.3
今日のテーマ
一般に、写像
があればそれによって
のクラスわけが定義される。
群の場合には群の構造を尊重した
群準同型写像を考えるのがよい。
今回は、群の演算を表すのに を用いる。
定義 3.1
群
から群
への写像
が群準同型写像であるとは、
が演算を保つ。すなわち、
がすべての
について成立するときにいう。
全単射群準同型のことを同型とよぶ。
補題 3.1
群準同型
が与えられたとき、
は
単位元、逆元を保つ。
群の準同型
の核は単に の部分群である
というだけではなく、特別な性質をもっている。
定義 3.2
群
の部分群
が
の正規部分群であるとは、
任意の
と 任意の
に対して
の
でのクラスが
のクラスに等しいとき、
言い換えれば、ある
があって、
がなりたつときにいう。
命題 3.2
群
の正規部分群
があたえられたとき、
に
群の構造が、演算を
(
は
の
でのクラス)により定めることができる。
はこの演算について群をなす。
例 3.1
から
への写像
を
$&sigma#sigma;$ の 符号
で定義すると、
は群の準同型になる。
,
.
問題 3.1
群
の元のうち、
を動かさないようなものの全体を
とおく。
すなわち
とおく。このとき
の
によるクラス分けの表を実際に書き、つぎに
に演算を
(
は
の
でのクラス。)
で定めようとしてもこれはうまく定義されないことを示しなさい。
すなわち、
かつ
であるにもかかわらず、
であるような
の例を挙げなさい。
問題 3.2
群
の正規部分群
で、自明でないもの(つまり、
でも
でもないものの例を挙げよ。
平成16年4月21日