代数学I特論要約 No.14

今日のテーマ

今回は $q$ は奇素数の巾であるとする。

射影二次曲線の合同ゼータ関数を求めよう。$X,Y$ の二次式の斉次化を 考えるところからはじめても良いが、最初から二次斉次式を考える方が 楽なので、そうする。

補題 14.1   ${\mathbb{F}}_q$ 上の二次斉次式 $f(X,Y,Z)$ にたいして、ある3次の正方対称行列 $A\in M_3({\mathbb{F}}_q)$ が存在して、

$$f(X,Y,Z)=(X Y Z) A \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}$$

がなりたつ。

定義 14.1   $f$ が非退化であるとは、上の補題で $f$ に対応する $A$ に対して、 $\operatorname{det}(A)\neq 0$ のときにいう。

$E={\mathbb{F}}_q^3$ の上基底をうまく取り換える( ${\Leftrightarrow}$ 座標変換をうまくとる) ことにより、$V_h(f)$ の点を上手に求めることを考えよう。次の (一見何でもない)命題が鍵になる。

命題 14.1   $E$ の元 $v\neq 0$ で、 ${}^t v A v=0$ を満たすものが存在する。

命題 14.2   $E$ の基底 $\{u_1,u_2,u_3\}$ で、次のような性質を満たすものが存在する。

1. ${}^t u_1 A u_1=0$.
2. ${}^t u_2 A u_1=0$.
3. ${}^t u_3 A u_1=1$.

$E$ の基底を基本ベクトルから $\{u_1,u_2,u_3\}$ に換えることにより 方程式は

$$2 X Z + a Y^2 + 2 b YZ + c Z^2$$

に置き換わる。(さらに座標変換をすれば $a=1,b=0,c=0$ に帰着することもできる。)

この方程式の解の全体はすぐに書き下すことができて、

定理 14.3   ${\mathbb{F}}_q$ 上の非退化斉次二次式 $f$ に対して、 $V_h=V_h(f)$ の合同ゼータ関数は

$$Z(V_h,t)=\frac{1}{(1-q t)(1-t)}$$

になる。(もっと強く、$V_h(f)$ は全て互いに同型である。)

(今回はレポート問題はありません。来週は試験。)