代数学I特論要約 No.12

今日のテーマ

$p$ は素数であるとする。このとき、

• ${\mathbb{F}}_p={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は元の個数が $p$ の体である。 (定理2.1)
• 各素数 $p$ と正の数 $r$ にたいして、 元の個数が $r$ の体 ${\mathbb{F}}_{p^r}$ が存在する。 (定理6.2)
• ${\mathbb{F}}_{p^r}$ は ${\mathbb{F}}_p$ 上の $r$ 次既約多項式をもちいて 構成できる。 (命題4.1)
• $p_R=0$ なる環 $R$ (とくに、 ${\mathbb{F}}_{p^r}$ にたいして、
  $$R\ni x \to x^p \in R$$
  なる環準同型 $F$ が存在する。これをフロベニウス準同型と呼ぶ。 (命題7.1)
• $F^r(x)=x^{p^r}$ . ${\mathbb{F}}_{p^r}$ の元 $x$ は $F^r(x)=x$ をみたす。(補題5.1 とその系)
• 逆に、標数 $p$ の体 $K$ を任意にとったとき、
  $$\{x \in K ; F^r(x)=x\}$$
  は $K$ の部分体になり、 ${\mathbb{F}}_{p^r}$ の部分体と同型になる。 (その意味で、 ${\mathbb{F}}_{p^r}$ は、 ちょうど $F^r(x)=x$ をみたすような $x$ の全体である)(補題7.1)

${\mathbb{F}}_q$ 上の方程式系 $V$ の合同ゼータ関数は

$$Z(V,t)= \exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})}{k}t^k \right)$$

によって定義されるのであった。 ここに、 $\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})$ は $V$ を ${\mathbb{F}}_{q^k}$ で考えたときの 解の個数である。

問題 12.1   $V=V(X^2+Y^2-Z^2)$ にたいして、 $Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$ をもとめよ。