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代数学I特論要約 No.11

今日のテーマ

$\fbox{ゼータ関数の例}$ 、前回レポートの解答

命題 11.1

は奇素数であるとし、

(

は正の整数)であるとする。 $% latex2html id marker 787 $ {\mathbb{F}}_q$$ 上の二変数の方程式系

に対して、 $% latex2html id marker 791 $ Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$$ は $% latex2html id marker 793 $ {\mathbb{F}}_q$$ のなかで

の平方根があるか否かによって二通りの答えがある。

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 797Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)= \begin{ca... ...弔箸\\ \frac{1+t}{1-q t} & \text{、ス、ヲ、ヌ、ハ、、、ネ、ュ} \end{cases}\end{displaymath}$

No.9 、ホ・�ン。シ・ネフ萃熙ホタオナ昀ィ、ャ、隍ッ、ハ、ォ、テ、ソ、ホ、ヌ。「イ鮴發鬚弔韻襦

例題 11.1

のとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の多項式

$(a\in {\mathbb{F}}_p)$ は既約になり得ないことを示しなさい。

[解答]

11個しか可能性がないから、個別に見てももちろんよい。が、もっと簡明なのは、写像

$\displaystyle {\mathbb{F}}_{11} \ni c \to c^3 \in {\mathbb{F}}_{11}$

が全射であることを用いることである。つまり、

となる

が存在する。

$(c\in {\mathbb{F}}_{11})$ は、もちろん既約ではない。

例題 11.2

のとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の

次既約多項式の例を見つけ、それが既約であることを示しなさい。

素朴にやるには膨大な計算が必要である。以下に mupad で計算するための program を書いておこう。

 Fp:=Dom::IntegerMod(17);          // Fp=Z/17 Z
 f:=poly(x^6-x-4,[x],Fp);          // 変数と係数を明示
 g:=poly(x^(17^2)-x,[x],Fp);
 h:=poly(x^(17^3)-x,[x],Fp);
 gcd (f,g);                        // f と g の GCD を求める。
 gcd(f,h);                         // f と h の GCD を求める。

膨大な計算をせずにすます方法はないか? 実はある。 ${\mathbb{F}}_{17}$ 上の既約な2次式と3次式をとろう。 (これは諸君にも容易であろう。) ここでは、例えば , とする。の根 $\alpha$ との根 $\beta$ の和 $\gamma$ を考える。 $\gamma$ の満たすべき次式は比較的容易に書き下せる。それが既約であることを言えばよい。すなわち、 ${\mathbb{F}}_{17}(\gamma)$ が ${\mathbb{F}}_{17}$ の次拡大であることを言えばよい。フロベニウス写像の言葉で言えば、これは $F^i(\gamma)$ が全て異なることを示すと言っても同じである。あとは $F(\alpha)=-\alpha$ と、 $F^3(\beta)=\beta$ とに注意すればよい。

問題 11.1 二変数の方程式系

の合同ゼータ関数

を求めよ。

平成17年1月4日