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代数学I特論要約 No.10
今日のテーマ
以下 は素数であるとし、 ( は正の整数)であるとする。
個の変数
に関する
係数の
多項式
が与えられているとき、 方程式系
を
あるいは (
がわかりきっている時には)
であらわす。
での
の解の全体を
で書き表す。
定義 10.1
方程式系
の合同ゼータ関数を
によって定義する。定義体
を明示したい時は、
などとも書く。
実際は右辺の級数は収束するのだが、
ここでは収束性は気にせずに「形式的べき級数」として扱うことにする。
にも注意しておこう。
例 10.1
2個の変数
に関する方程式系
に対して、
.
例 10.2
2個の変数
に関する方程式系
に対して、
例 10.3
2個の変数
に関する方程式系
に対して、
変数が一つのときは、次の命題によって合同ゼータ関数が求まる。
命題 10.1
は
上既約な一変数
次多項式であるとする。
1個の変数
に関する方程式
について、
が成り立つ。
が既約でないときはどうか。次の問題を参照のこと。
問題 10.1
は奇素数の巾であるとする。このとき
1個の変数
に関する方程式
に対して、
を求めなさい。
問題 10.2
1個の変数
に関する方程式
に対して、
を求めなさい。
平成16年12月9日