代数学I特論要約 No.08

今日のテーマ

補題 08.1   体 $K$ から 体 $L$ への環準同型写像は必ず単射である。 もしそのような準同型写像が存在すれば、$K$ と $L$ の標数は等しい。

定義 08.1   体 $K$ の拡大体 $L$ にたいし、$L$ から $L$ への環自己同型で、 $K$ 上恒等写像に等しいものを $L$ の $K$ 上の自己同型という。 $L$ の $K$ 上の自己同型の全体を $\operatorname{Aut}_K(L)$ で書きあらわす。

補題 08.2   ${\mathbb{F}}_{p^r}$ から ${\mathbb{F}}_{p^s}$ への環準同型写像が存在するための 必要十分条件は、 $r$ が $s$ の約数であることである。 さらに、そのとき ${\mathbb{F}}_{p^r}$ から ${\mathbb{F}}_{p^s}$ への環準同型写像の像 は一意的である。

上の補題により、正の整数 $s,t$ にたいして、 ${\mathbb{F}}_{p^s}$ は ${\mathbb{F}}_{p^{s t}}$ の部分体と見るのが普通であるので、 以下そのようにする。

命題 08.1  

$$\operatorname{Aut}_{{\mathbb{F}}_{p^s}}({\mathbb{F}}_{p^{s t}})\cong C_t$$

ここで、左辺の生成元としては

$$\phi^s(x)=x^{p^s}$$

($\phi$ は前回出て来たフロベニウス写像。$\phi^s$ は ${\mathbb{F}}_{p^s}$ に関するフロベニウス準同型と呼ばれる)を採ることができる。

定理 08.2   ${\mathbb{F}}_{p^s}$ と ${\mathbb{F}}_{p^{s t}}$ のあいだの中間体と、$C_t$ の部分群とは 一対一に対応する。

問題 08.1   ${\mathbb{F}}_3$ 上の多項式 $f(X)=X^6+X-1$ について、

1. $f$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上一次の因数をもたないことを示しなさい。
2. $f$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上二次の因数をもたないことを示しなさい。 (ヒント: $f$ と $X^{3^2}-X$ との GCD を考えよ。)
3. $f$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上三次の因数をもたないことを示しなさい。
4. $f$ は既約であることを示しなさい。 (これを直接示すような解答を得た場合には上の (1)-(3)は省略しても構わない。)
5. $K={\mathbb{F}}_3$ と $L={\mathbb{F}}_{3}[X]/f(X){\mathbb{F}}_3[X]$ の中間体を全て求めよ。