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代数学I特論要約 No.06
今日のテーマ
定義 06.1 (オイラーの関数)
の中で、
と互いに素な数の個数を
と書く。
補題 06.1
位数
の巡回群を
とかく。このとき、
-
は、 の
生成元(=位数がちょうど と一致するもの)の個数と等しい。
- 一般に、 の元のうち位数がちょうど に一致するものの
個数は、
であたえられる。
補題 06.2
体
の乗法群
の元で、位数が
のものは
個
以下である。
命題 06.1
有限体
の乗法群
は必ず巡回群である。
有限体の元の個数は必ず素数の巾だったことを思い出しておこう。逆に、
次のことが成り立つ。
定理 06.2
素数
の巾
が与えられたとき、元の個数が
の体
が存在する。
は同型を除いて一意的である。
系 06.1
任意の素数
と任意の正の整数
に対して、
上の既約
次式が
少なくとも一つ存在する。
定義 06.2
元の個数が
の体のことを
と書く。
問題 06.1
以上の素数
と
以上の整数
を各自で決めて、
上既約かつモニックな多項式を二つ与え(
)、
での
の根を書き下しなさい。
平成16年12月6日