代数学I特論要約 No.5

今日のテーマ

体 $K$ に対して、 $K\setminus \{0\}$ は(乗法に関して)群をなす。 これを $K$ の乗法群と呼び、 $K^\times$ で書き表す。

参考: 一般に、(単位元をもつ結合的な)環 $R$ に対して $R$ の元で、$R$ 内に逆元をもつようなものの全体を $R^\times$ と書く。 $R^\times$ も乗法に関して群をなす。)

有限群 $G$ に対して、$G$ の元の個数(位数)を $\vert G\vert$ と書くと $G$ の任意の元 $g$ は $g^{\vert G\vert} =1$ を満たすこと(ラグランジュの定理) を思い出しておこう。

補題 5.1   有限体 $K$ に対して、$\char93 (K)=q$ と書くと、$K^\times$ の任意の元 $x$ に対して、 $x^{q-1}=1$ がなりたつ。

系 5.1   有限体 $K$ に対して、$\char93 (K)=q$ と書くと、$K$ の任意の元 $x$ に対して、 $x^q=x$ がなりたつ。とくに、$K$ の元は $X^q-X$ の根の全体と ちょうど一致する。

$$X^q-X =\prod_{a \in K} (X-a)$$

系 5.2   ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約 $d$-次式は必ず $X^{p^d}-X$ の約数である。

問題 5.1  

1. ${\mathbb{F}}_{11}$ の(次数が2以上の)既約多項式 $p(X)$ を一つ 選びなさい。
2. 上の $p(X)$ に対して、 $K={\mathbb{F}}_{11}[X]/p(X){\mathbb{F}}_{11}[X]$ のなかの $X$ のクラスを $a$ とおく。この時、$a,a+1$ の逆元をそれぞれ求めなさい。

問題 5.2   二桁以上の素数 $p$ を二つ選んで、それぞれに対して ${\mathbb{F}}_p^\times$ の 生成元を一つ挙げなさい。

問題 5.3   「参考」の部分、$R^\times$ が群であることの証明をせよ。