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代数学II要約 No.12
今日のテーマ:
今回は、気分を変えて、対称群の既約表現を実際に与える方法について(証明は抜きで)述べよう。
ヤング図形とは、正方形の箱を、縦横に次のような恰好で
並べたものである。
等々
つまり、横に並んだ正方形の数が単調非増加になるようにならべるわけだ。
正方形の数が 個のヤング図形のことを、 次のヤング図形という。
実は 次の対称群
の既約表現は、
-次のヤング図形の分だけあって、
実際にそこから構成できることが知られている。
つまり、
の既約表現は
に対応する3つがあり、
の既約表現は
の4つがあると言うことになる。
次のヤング図形 をひとつとって
そのおのおのの正方形に から までの数字を
だぶらないように書き入れたものを( を台とする)ヤングの盤という。
ヤングの盤には、次のような調子で多項式を対応させることができる。
ただし、右辺に出てくるのは「差積」であって、
などという具合にあたえられる。
の元は -変数の多項式の全体に文字の置き換えで作用する。
の形の多項式に
の元を作用すると、 と同じ台を
もって文字をつけ替えたような別のヤングの盤 があって、
となることはすぐに確かめられるから、一つのヤング図形 を固定する毎に、
そのような を台に持つような盤全体に関する線型結合
の全体は
の表現になる。これを(本講義の参考書にあわせて)
(表現空間の方は ) と書くことにしよう。
実は、 どうしは独立ではなく、関係式が幾つかあることに
注意せねばならない。
の既約表現は次の空間で与えられる。
同様に、
の既約表現は次の空間で与えられる。
(
に注意)
問題 12.1
3次のヤング図形
(3つある)のそれぞれについて、
の元
の
上の作用は定数倍で与えられる。
それらの値を決定しなさい。(結果をNo.9で述べたことと比べよ。)
問題 12.2
次のヤング図形
(5つある)のそれぞれについて、
の元
が
上
どのような作用を行うか記述しなさい。
平成15年7月23日