代数学II要約 No.10

今日のテーマ:

補題 10.1   $Z({\mathbb{C}}[G])$ には非自明な(0 以外の)巾零元は存在しない。 とくに、 $Z({\mathbb{C}}[G])$ の任意の元 $z$ に対して、$z$ の満たす ${\mathbb{C}}$ 上の 多項式で次数が最小のもの(最小多項式) は重根をもたない。

定義 10.1   環 $R$ の部分集合 $J$ が $R$ の左イデアルであるとは、 $J$ が次の条件を満足するときにいう。

1. $0 \in J$
2. $x,y\in J \implies x+ y, x-y \in J$
3. $r\in R$, $x\in J$ $\implies$ $rx\in J$

三番目の条件を、次の条件に置き換えて右イデアルを定義することができる。

$(3')$ $r\in R$, $x\in J$ $\implies$ $xr\in J$

$R$ の(両側)イデアルとは、$R$ の左イデアルかつ右イデアルになっているような もの、言い換えれば上の(1),(2),(3)と$(3')$を同時にみたすようなもののことである。

補題 10.2   $Z({\mathbb{C}}[G])$ の元 $z$ にたいし、 ${\mathbb{C}}[G]$ は $z$ の固有空間の直和に(加群として) 分解し、さらにそれぞれの固有空間は ${\mathbb{C}}[G]$ の(両側)イデアルになる。 もっと一般に、 $Z({\mathbb{C}}[G])$ の有限個の元 $z_1,z_2,\dots,z_l$ にたいし、 ${\mathbb{C}}[G]$ は $z_1,z_2,\dots,z_l$ の同時固有空間(それぞれの固有空間の共通部分) の直和に(加群として)同型になり、それぞれの同時固有空間は ${\mathbb{C}}[G]$ の イデアルになる。

命題 10.1   $Z({\mathbb{C}}[G])$ は次のような環 $R_i$ の有限個の(環としての)直積に分解する。

1. $Z(R_i)={\mathbb{C}}$
2. $R_i$-加群で、 ${\mathbb{C}}$ 上有限次元のものは必ず完全可約である。

ついでに、次回以降に重要になる $M_n({\mathbb{C}})$ の左イデアルの例を挙げておこう。

例   一般に、環 $R$ の元 $x$ にたいして、 $Rx$ は $R$ の左イデアルになる。 とくに、 $M_n({\mathbb{C}})$ の元 $x_l=E_{11}+E_{22}+\dots+ E_{ll}$ ($E_{ij}$ は 基本行列) にたいして、 $J_l=M_n({\mathbb{C}}) x_l$ は $M_n({\mathbb{C}})$ のイデアルである。

$$J_1 \subset J_2 \subset J_3\subset J_4\subset \dots \subset J_n=M_n({\mathbb{C}}).$$

問題 10.1   位数 $8$ の二面体群 $\mathbb{D}_8$ の群環 ${\mathbb{C}}[\mathbb{D}_8]$ を 二つ以上の環の直積に分解せよ。

問題 10.2   ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ の元 $z=S(1 2)$ にたいして、$z$ の 最小多項式を求めよ。