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代数学II要約 No.8
今日のテーマ:
今回も表現は
上のものを考えることにする。
の表現は自然に群環
-加群と見ることもできた。
の構造を知ると -加群の既約分解はかなり見通しがよくなる。
定義 8.1
環
の元
が中心元であるとは、
が
のどの元とも可換であるとき、
すなわち、
が成り立つときにいう。
の中心元全体の集合を
と書き、
の
中心と呼ぶ。
補題 8.1
任意の環
に対して、その中心
は可換環をなす。
群環
の中心を求めるために、群論の次の事実を思い起こそう。
定義 8.2 (復習)
一般に、群
の元
と
とが(
のなかで)共役であるとは、
ある
があって、
が成り立つときにいう。
共役という関係は
の一つの同値関係を与えていて、
その同値関係についてのそれぞれのクラスを共役類と呼ぶ。
各
に対して、
と共役なものの全体の集合をここでは
と書く。
さらに、共役なものについての和
のことを、 と書くことにする。(本講義の参考書(「加群十話」)では [g]
と書いてあるが、記号 は既に別の意味で用いたため、
ここだけ記号を変えてある。)
これまで、群 の元全体での平均をよく用いてきたが、 は「部分的な
平均」である。
補題 8.2
の中心
は
の一次結合の全体と一致する。
-加群(=
)加群の分解は、まず
の固有分解から
行うのが楽になる。これについては次回。
問題 8.1
の共役類によるクラス分けを書き、
それぞれの類
について
を
もとめなさい。
問題 8.2
の共役類によるクラス分けを書き、
それぞれの類
について
を
もとめなさい。
2003/6/11