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代数学II要約 No.7
今日のテーマ:
これからは、特に断らない限りは「群 の表現」といえば
複素数体
上のものを考えることにする。
No.6 でも少し述べたように、-加群の間の -準同型は次のように定義される。
定義 7.1
-加群
の間の線型写像
が
-準同型であるとは、
が
の作用を保つ、すなわち
任意の
と任意の
とに対して、
が成り立つときに言う。
から
への
-線型写像の全体はそれ自身線型空間になる。
これを
とかく。
一般に、線型写像の「平均」をとることによって -準同型を
得ることができるわけだが、そもそも -準同型自体は
そんなに多くはない。
定義 7.2
-加群
が、非自明な
-部分加群(0,
以外の
-部分加群)をもたない
とき、
は既約な
-加群であるとよばれる。
マシュケの定理を用いると、次のことが分かる。
補題 7.1 (マシュケの定理の系)
有限群
の(複素数体
上の有限次元)表現
は、
必ず既約な
-加群の直和に分解する。
2003/6/8