の部分群 に対して、 の表現が次のように定まる。
群 の全ての元 に対して、 を対応させると の一つの 表現ができる。これを の恒等表現という。
体 上の群 の表現 が与えられているときに、 を
後の二つの例のように、 群 の表現 のなかには、 が 単射でないものもある。
置換表現など、いままでに挙げた表現は行列の成分に 0 と しか 出て来ないようなものばかりだったが、それだけでは面白くない。 実は群の全ての表現は、正則表現をうまく「分解」することにより 得られることが知られている。
「分解」などの詳細はもっと後の講義で述べることにして、 今日の講義では の置換表現から、如何に二次の表現を 作るかについて述べる。