代数学II要約 No.2

今日のテーマ:

定義 2.1 (環の定義)   $(R,+,\times)$ が環であるとは、集合 $R$ に足し算と呼ばれる写像 $$+: R\times R \to R$$

と掛け算と呼ばれる写像

$$\times :R\times R \to R$$

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。

1. $R$ は足し算に関して可換群をなす。
2. $R$ の積は結合法則を満たす。
3. $R$ の足し算と掛け算は分配法則を満たす。
4. $R$ は積に関して単位元を持つ。

忘れた人は2回生の代数学の講義に戻るか、本講義の参考書

「加群十話」堀田良之著(朝倉書店)

などを参考にするとよい。

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$, $\mbox{${\mathbb{R}}$}$, ${\mathbb{C}}$ はそれぞれ環である。 一般に、環 $R$ に対して、 $R$ の元を成分にもつ $n\times n$-行列全体のなす集合 $M_n(R)$ も環である。

次のような例もある

例   環 $R$ が与えられているとする。(例えば $R={\mathbb{C}}$) $R^3$ に次のような加法、乗法を定める。

$$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pma... ...\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} px+qz+ry \\ py+qx+rz \\ pz+qy+rx \end{pmatrix}$$

このとき、$(R^3,+,*)$ は環である。

問題 2.1   $R^3$ にベクトルの和 $+$ とベクトル積 $\times$ を

$$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pma... ... y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} qz-ry\\ rx-pz \\ py-qx \end{pmatrix}$$

このとき、$(R^3,+,*)$ は環であるといえるだろうか。

いつでも上のような調子でかけ算を決めていたのではたまらない。実は 大抵の場合もっと分かりやすい積の定義があり得る。

上の例は実は $C_3$ の群環と呼ばれるものと同じものになっている。

定義 2.2   有限群 $G$ と、環 $R$ が与えられているとする。 $R$ 上の群環 $R[G]$ とは、 形式的な和の集合

$$\{\sum_{g\in G} c_g g; c_g \in R \}$$

に次のような和と積を導入したものである。

$$\sum_{g\in G} c_g g + \sum_{g\in G} d_g g =\sum_{g\in G} (c_g+d_g) g$$

$$(\sum_{g\in G} c_g g) ( \sum_{h\in G} d_g g) =\sum_{g,h\in G} (c_g d_h) gh$$

$R[G]$ の乗法は、次のように言った方が洒落ているし、簡潔でもある。 $R[G]$ の乗法は、$R$-双線形で、$R$ 基底 $G$ のそれぞれに対しては その乗法は $G$ の乗法と一致する。

問題 2.2   $G=\frak S_3$ のとき、 $R[G]$ の積を例のような $R^6$ の積として具体的に成分であらわしなさい。