代数学特論II 要約 No.14

今日のテーマ:

関数環の定義の追加と復習。

定義 14.1   ${\mathbb{C}}[x]$ は ${\mathbb{C}}$ に $x$ を追加してできる環、すなわち $x$ についての ${\mathbb{C}}$ 係数の多項式全体のなす環、 ${\mathbb{C}}[[x]]$ は $x$ の形式的べき級数のなす環であった。 ${\mathbb{C}}[[x]]$ の部分環 ${\mathbb{C}}\convergent{x}$ を、

$${\mathbb{C}}\convergent{x}=\{f=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\in {\mathbb{C}}[[x]];$$   $f$ の収束半径は正 $$\}$$

で定義し、 ${\mathbb{C}}$ 上の収束べき級数環と呼ぶ。。

インデックスの記号は、関数環 $\mathcal F$ を明示して次のように書いておく のがよい。

定義 14.2 (定義13.2再掲)   $P\in \mathcal D$ とする。 $M=\mathcal D/\mathcal D P$ とおいて、 $P$ の $\mathcal F$ 上のインデックスを

$$\operatorname{ind}(P;\mathcal F) =\dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,\mathcal F))- \dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,\mathcal F))$$

で定義する。(但し二つの次元がともに有限次元のとき。)

本講義の参考書「加群十話」にはマルグランジュの定理(161ページの定理10.1)が 書いてある。

定理 14.1 (マルグランジュ)   $P\in \mathcal D={\mathbb{C}}[x,\partial_x]$ を $P=\sum_{i=0}^m a_i(t)\partial_x^i$ と書いたとき、

1. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}\convergent{x})=m-v(a_m)$
2. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}[[x]])=\underset {0\leq i \leq m}{\max}(i-v(a_i))$

(但し、 $v(\bullet)$ は $\bullet$ の零点の位数をあらわす。)

この講義ではこの定理の証明は述べないが、 次の例についてインデックスがどうなっているか、 述べたい。

例 14.1   $P=x^2 \partial -1$ にたいして、

1. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}\convergent{x})=-1$
2. $\operatorname{ind}(P,{\mathbb{C}}[[x]])=0$

実際、この例については

$$\dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,{... ...vergent{x}))=0,\quad \dim(\operatorname{Hom}_\mathcal D(M,{\mathbb{C}}[[x]])=0$$

と

$$\dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,{\mathbb{C}}[[x]]))=0$$

はすぐにわかる。

$$\dim(\operatorname{Ext}^1_{\mathcal D}(M,{\mathbb{C}}\convergent{x}))\neq 0$$

がポイントで、これは微分方程式の形式的な解が必ずしも収束しないことと 対応している。