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代数学特論II 要約 No.12
今日のテーマ:
環
上の加群
が、
で生成されている (言い換えると、
は
の生成元である)とは、
を含むような
の部分
-加群が
自身であるときに いう。 生成元
補題 12.1
環
上の加群
があって、
が与えられているとき、
から
への
-準同形写像
が
によって定まる。
が
で生成されるための必要十分条件は、 上の
が全射であることである。
例 12.1
は
-加群であって、基本ベクトル
で生成されている。 もちろん、生成元の取り方は他にもいろいろある。
例 12.2
行列
が与えられたとき、
には
-加群の構造が
から定まったのであった。
は
上でももちろん
で生成されているが、もっとよい生成元を探すことが
の「標準型」を得る第一歩であった。
定義 12.1
上の補題の状況で、
は
の
-部分加群である。 この
のことを
の 関係式のなす加群と呼ぶ。
例 12.3
を
-加群とみよう。
の元をいくつかとって
とすると、これらは一般には線型独立とは 限らない。
なる
を集めた集合がこの場合の「関係式のなす加群」である。
例 12.4
例
12.2
のように、
次の正方行列
を固定して
を
-加群とみよう。
の間には
上自明でない関係式がたくさんある。 それらを実際調べ、スミスの標準型を経由して
のジョルダンの標準型を 得ることができるのであった。
-加群の場合には、関係式の問題は、「
は どのような微分方程式(系)を満たすか」という問題とみることができる。 レポート問題を参照のこと。
定義 12.2
ある環
上の加群
および加群の準同型
が与えられているとき、
が完全系列(exact sequence)であるとは、
が成り立つときにいう。
問題 12.1
(原点でのテイラー展開を考えて)の
- 加群としての関係式の加群を求めよ。
平成16年1月22日